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2.2 散射波振幅 第 2 章 晶体衍射和倒格子 固体物理导论 1. 晶体中局域物理量的周期性　 2.2. 1 傅里叶分析 晶体具有平移对称性，因此晶体中任何具有局域特征的物理性质，在平移对称操作下都不变，即它们都是周期性函数 如：电子数密度 2. 一维周期函数的傅里叶分析　 对于周期为 a 的一维周期函数 n(x)，我们可以它展开为傅里叶级数 显然 n(x) 傅里叶级数的复数形式 为保证 n(x)为实数，则要求 这样 n(x) 的傅里叶级数中的 p 项和 –p 项之和为实数 令 2ppx/a=j ，则p 项和 –p 项之和为 所以 3. 三维周期函数的傅里叶变换　 一维 推广到三维 矢量组 须满足一定的条件，以保证 4. 傅里叶级数的逆变换　 对上式两边同时乘与 ，再对 x 作积分，则上式右边变为 证明： 我们熟知的关系： 因此 得证 类似地，对于三维的情形 Vc 为晶体中一个晶胞的体积 1. 倒空间 2.2. 2 倒格矢 在晶格空间中，格矢的量纲为 L ，我们称之为正空间；相反地，我们把矢量的量纲为L-1 的空间称为倒空间 如何寻找满足条件的矢量组 ？ 2. 倒格子基矢 所谓倒格子，是由一系列在倒空间中周期性排列的点——倒格点所构成，定义倒格子基矢为 正格子原胞的体积 则每个倒格点可以通过以下的矢量给出 因此倒格点在倒空间里完全呈周期性排列，每个倒格点都完全等价，周围的情况完全相同，因此，每个倒格子是倒空间里面的布拉维格子 具有这种形式的矢量称为倒格矢 3. 倒格子的性质 W * 为倒格子原胞的体积 (1) (2) (3) 证明用到 注：面指数与米勒指数 面指数与米勒指数唯一的不同是坐标系不一样 米勒指数 面指数 (4) 倒格矢 垂直于面指数为 (v1 v2 v3) 的晶面族 设某晶面族的面指数为(v1 v2 v3)，又设 则面ABC为该晶面族中距O 最近的一晶面 同理 所以 (5) 晶面方程 沿晶面族 (v1 v2 v3) 法向 设 为晶面(v1 v2 v3)上任一点的位矢，因此 O 到该晶面 的距离为 d 为晶面族 (v1 v2 v3) 中两相邻的晶面的晶面间距，n 为整数，上式称为晶面方程 (6) 晶面间距 沿晶面族 (v1 v2 v3) 法向 4. 倒格矢与傅里叶变换 上式中我们需要寻找的满足晶体平移不变性的矢量 其实就是倒格矢，因为 5. 倒格子与正格子 晶体结构 正晶格（正格子） 倒晶格（倒格子） 衍射图样 显微图像 映像 映像 正格子 倒格子 长度 L 量纲 长度倒数 L-1 量纲 傅里叶变换 真实空间 傅里叶空间 1. 定理　 2.2. 3 衍射条件 一组倒格矢决定了可能存在的X射线反射 把入射波和散射波都认为是平面波，其波矢分别为 和 两散射波相位差 两散射波合振幅