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22正则与退化的二阶张量
张量分析 及连续介质力学 2.2 正则与退化的二阶张量 2.2.1 关于映射的几个定理 定理 任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集. 证明 设矢量集u(i)(i=1, 2, …, I )线性相关，则存在不全为零 的实数?(i)，使得 定理 三维空间中任意二阶张量T 将任意矢量组u，v，w 映射为另一矢量组，满足 证明 （式1.8.25）、(1.8.22) ? ? 2.2.2 正则与退化 定义 detT≠0的二阶张量T 称为正则的二阶张量；否则称为退化的二阶张量。 若T 是正则的，则T T 也是正则的。 正则二阶张量的性质： （1）定理 二阶张量是正则的必要且充分条件是将每一组线性无关的矢量组u(i)(i=1，2，3)映射为另一组线性无关的矢量组T·u(i)(i=1，2，3)。 等价表述： 二阶张量是正则的必要且充分条件是T·u=0，当且仅当u=0；或者，二阶张量是退化的必要且充分条件是存在u≠0 使得T·u=0。 （2）正则的二阶张量T 映射的单射性 对于任意2 个不等的矢量u≠v，被T 映射以后仍不相等：T·u≠T·v。 （3）正则的二阶张量T 映射的满射性 定义 对于正则的二阶张量T，必存在唯一的正则二阶张量T -1，使 T -1 称为正则的二阶张量的逆，正则的二阶张量也称为可逆的二阶张量。可证 满射性 对于正则的二阶张量T 对于任意矢量u 所做的线性变换T·u=w，必存在唯一的逆变换，使T -1·u=w。
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