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棱锥的体积 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 练习1： 练习2: 小结： 1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。 NEXT RETURN V A B C D E BC=6, ED=4, AV=8. 解： RETURN E V A B C D BC=6, ED=4, AV=8. 例5、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,G为A1B1上的点,E、F在棱AB上,H在C1D1上. (1).若点G在A1B1上滑动, H在C1D1上滑动,线段EF在AB上滑动,则VH-EFG的值有何变化? (2).若点G滑动到B1,E、F滑动到A、B点,H滑动到D1点,则VH-EFG体积为多少? A B C D A1 B1 C1 D1 G H E F A D B C E θ 证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E， 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。 根据三垂线定理，AE ⊥ BC。 ∴ ∠AED＝θ。 例6：已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD， 侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ S△ABC·ADcosθ ＝ S△AB C · ADcosθ ＝ × BC · AEcosθ· AD V三棱锥＝ S△B CD · AD ＝ × BC · DE· AD 例6：已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD， 侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ S△ABC·ADcosθ A D B C E θ 问题1、ADcosθ有什么几何意义？ F 结论： V三棱锥＝ S△AB C · DF 例6、已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD， 侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ S△ABC·ADcosθ A D B C E θ 结论： V三棱锥＝VC-AED＋VB-AED 问题2、解答过程中的 × BC · AEcosθ· AD其中 AEcosθ· AD可表示什么意思？ ∵AEcosθ＝ED ∴S△AED＝ ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE 分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。 分析： 将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式） A B C D A’ C’ B’ D’ 问题1、你能有几种 解法？ 问题2、如果这是一 个平行六面 体呢？或者 四棱柱呢？ 从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得 到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体 积的几分之几？ C D A B 问题2、如果改为求 棱长为a的正四面 体A-BCD的体积。 你能有几种解法？ 问题1、你能有几种 解法？ 解一、补形，将三棱 锥补成一个正方体。 解二、利用体积公式 V四面体＝ S△BCD·h 解三、将四面体分割为 三棱锥C-ABE和三棱 锥D-ABE E * 复习： 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体＝Sh 3、柱体体积公式的推导 柱体体积公式的推导： 等底面积等高的几个柱体被平行于平面α的平面所截截面面积始终相等 体积相等 ∵V长方体＝abc ∴V柱体＝Sh α 问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？ α h1 S1 h1 S2 h S h S 取任意两个锥体，它们 的底面积为S，高都是h ＋ 平行于平面α的任一平面去截 ＋ 截面面积始终相等 ＝ 两个锥体体积相等 α h1 S1 h1 S2 h S h S 证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。 把这两个锥体 放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平 面内， 用平行于平面α的任