Lebesue测度.doc

第二章 测度论 引言 实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼（Riemann）积分进行推广，而建立一种应用范围更广，使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue积分理论. 数学分析中Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数，但随着理论的发展，Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显，主要表面在以下两个方面：一方面是对被积函数的连续性要求太强，以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积；另一方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性，而这一要求在实际问题中常常得不到满足，或虽然满足要想验证又非常的繁复，因此，无论在理论方面还是在实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的. 通常对Riemann积分的改进可从两方面着手，一方面是对积分范围划分的改进。在Riemann积分中，对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”或“有体积”划分，即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”的小块. 这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于Dirichlet函数不可积. 所以有必要对“有面积或体积”划分的含义进行扩充，即对通常意义下的“有面积或体积”的集合进行扩充，使之适合于更广的一类集合，由此便产生了本章要介绍的集合的测度；另一方面是对被积函数进行改进. Riemann积分中的被积函数对连续的要求很苛刻，以致于函数的连续性稍微不好，就会导致函数不可积. 所以有必要对被积函数在已有的测度的基础上进行扩充，使之适合于更广的一类函数，由此产生了第三章要介绍的可测函数. 本章主要介绍集合的Lebesgue测度，它是通常意义下“面积或体积”概念的一种推广（即能保持通常意义下“体（面）积”的特性：①非负性；②当集合为区间时，其测度即为区间的体积；③完全可加性即当{}为一列互不相交的有测度的集合时，的测度恰好为每个集的测度之和）. §1 外测度 一、外测度的定义 记 中的开区间其中为有限数. 若上述记号中等号可能出现，则称为区间，显然时，即为上的区间. 另外还规定为区间的体积. 定义1 设，是中覆盖的任一列开区间，即， 记（可以取+），显然所有这样的构成一个有下界的数集，则它的下确界称为的Lebesgue外测度，记为 注 定义中覆盖的开区间列，可以只有有限个开区间，也可以有可数个开区间，显然，对任意，均存在，且可以取+. 二、外测度的基本性质 定理 外测度具有如下性质： （1）对任意都有 （非负性）, （2）设，则 （单调性）, （3）设，则（次可加性）, （4）设，若，则（隔离性）. 证明 （1）显然成立。下面只证（2）（3）（4） （2）因为对任意覆盖A的开区间列，由于 所以，从而，. (3)由外测度的定义知，对任意给定的正数，存在覆盖的开区间列使 显然 所以 . （4）仅在上证明. 对任意，存在开区间列，使 且 ， 因为, 若保留;若则用分点将分成有限个小的 开区间, 使, 并且各分点再用个长度小于的开区 间盖住, 使得，用上述得到的及代替， 显然 , 把改造后的开区间列记为，则, 且 . 由于中任何不可能同时含有中的点，所以把分为两类， 含有中点的作为一类记为，含有中点的作为一类记为，则 , 所以 , 再让→0得 , 证毕. 例1 设为[0，1]中的全体有理数，则. 证明 因为为可数集 记为 对任意ε0，取 显然, , 让ε→0得 ，证毕. 思考题 若为中的可数点集，则. 注 外测度为零的集称为零测集，故中的可数点集为零测集. 例2 若，则对任意，总有 . 证明 由外测度的性质（1）、（2）得 ， 所以 . 例3 （1）零测集的任意子集仍为零测集. （2）至多可数个零测集的并集仍为零测集. 由零测集的定义及外测度的性质易证，证明留给读者. 例4 对任何区间，总有. 证明 对任意，存在开区间I*，使 且 ||||+ 由外测度的定义知 ，再让，得. 下证 . 对任意，作闭区间，使且||||+. 又由外测度的定义知对上述及ε，存在开区间列 使I0,且,由Borel有限覆盖定理,在{}中存在有限多个区间, 不妨设为 使， 所以 从而 ||||+, 让，得 ，故，证毕. 思考题 若为无穷区间，如何证明? 注 例4表明外测度是“面积或体积”的一种拓广. §2 可测集 上节介绍的集合的外测度是区间“体积”的一种拓广，这种拓广是否为通常意义下“体积”的拓广呢? 在通常意义下，有体积的集合有这样一个性质:“对两个有体积的不交集合，总有的体积=的体积+的体积，即体积具有