大话卷积--科学网曹广福.doc

俺写了那么“精彩”的数学科普没人看，却让不是搞数学的人写的数学占了上风，杯具啊，实在是杯具。是俺的数学水平太高还是你们的数学欣赏水平太低？亦或俺写的太专业？这回来点不专业的。 ??? 唐老师用输液过程解释卷积的确有点意思，比较容易让人接受，老邪的方法更简明易懂，不过老邪的方法可以解释怎么定义卷积，却不能说明为什么要定义卷积。 ??? 如果我没有记错，卷积最早来自于信号系统理论，后来被数学家们发扬光大了，而且其威力已经远远超出了发明者的初衷。 ??? 先来看信号处理中如何出现卷积的。假设B是一个系统，其t时刻的输入为x(t)，输出为y(t)，系统的响应函数为h(t)，按理说，输出与输入的关系应该为 Y(t)=h(t)x(t)， 然而，实际的情况是，系统的输出不仅与系统在t时刻的响应有关，还与它在t时刻之前的响应有关，不过系统有个衰减过程，所以t1（t）时刻的输入对输出的影响通常可以表示为x(t)h(t-t1)，这个过程可能是离散的，也可能是连续的，所以t时刻的输出应该为t时刻之前系统响应函数在各个时刻响应的叠加，这就是卷积，用数学公式表示就是 y(s)=∫x(t)h(s-t)dt， 离散情况下就是级数了。 ??? 我对信号处理一知半解，胡言乱语一番可别揪我的小辫子。我们知道积分变换可以把卷积运算变成通常的乘积运算，积分变换的物理意义在于通过这种变换可以把时间域上的函数变成频率域上的函数，这个过程是可逆的。上述卷积经过积分变换后变成了 Y(u)=X(u)H(u) 其中Y，X，H分别为y,x,h的积分变换。信号处理中人们关心的是Y(u)，但X(u)与H(u)往往并不那么容易求出来，而x(t)与h(t)是比较容易得到的（真的？），为了找到Y(u)与y(t)的对应关系从而得到Y(u)，人们发明了卷积。 ??? 信号处理专家们，我说的对吗？至于卷积在数学上的作用，说起来就话长了，容后再表。 上回说到信号处理中的卷积问题，老邪责怪我挂羊头卖狗肉，人家问数学，我却讲物理，看在老邪是仅次于我的科学网第二牛B的份上，俺就回归数学，讲一讲数学上的卷积。 关于卷积的背景问题其实并不那么简单，有人觉得卷积与傅里叶分析密切相关，可你是否知道他们之间到底是什么关系？卷积的本质到底是什么？上篇短文从信号处理的角度讲到了卷积的实际背景，这里则是从数学的角度展示卷积的强大威力。 要了解卷积的本质，首先要清楚傅里叶分析到底在说什么？它的核心问题是什么？傅里叶级数大家耳熟能详，不需要我啰嗦了，然而你对傅里叶级数了解到何种程度？如果你仅仅局限于微积分里那点可怜的概念，恐怕你连傅里叶级数的毛也没摸着，你只是知道了傅里叶级数的简单定义而已。要想真正了解傅里叶级数，就必须熟悉实变函数，因为在傅里叶分析中，一个最基本也是最重要的问题是： 傅里叶级数是否收敛？按什么方式收敛？ 这个问题在微积分里是无法搞清楚的，事实上，即使是一个连续函数，其傅里叶级数也可能在某些点发散，我们甚至可以构造出Riemann可积函数，其傅里叶级数是处处发散的。如果你辛辛苦苦把一个函数展开成傅里叶级数，却发现它并不收敛，其内心是一种什么感受？大概如同从没有电梯的二十层楼上屁颠屁颠地跑下来却发现没带汽车钥匙。众所周知，Riemann可积函数是一种性质比较好的函数（相对于积分区间几乎处处连续，啥叫几乎处处？微积分是不能告诉你的，想知道吗？老老实实跟我学实变函数），即使是这样的函数都不能保证傅里叶级数的收敛性，可见问题有多么严重。傅里叶分析是门比较古老的学问，但其中存在的许多问题直到上个世纪中叶依然是大家关注的话题，也正是傅里叶分析中存在的诸多问题悬而未决，促使人们寻求新的方法，这正是泛函分析的萌芽之一。 卖了半天的关子，到底想说啥？稍安勿躁，一点耐心都没有我还怎么讲？我们就从收敛性问题说起，假设f是以2π为周期的可积函数（以什么为周期不是最重要的），其傅里叶展开为： f(x)∽∑a_ncosnx+b_nsinnx， 也可以写成指数形式： f(x)∽∑c_ne^(inx) 其中， a_n=∫f(t)cosntdt，b_n=∫f(t)sinntdt，c_n=∫f(t)e^(-int)dt，俺无法写出积分上下限，反正你们都知道是个长度为2π的积分区间，现在的问题是如何判断右端的级数是收敛的。记 S_k(x)=∑_{n≦k} a_ncosnx+b_nsinnx=∑_{|n|≦k}c_ne^{inx}， 知道这叫什么吧？它称为级数的部分和，我们的目标是把这个部分和表示出来以便于判断该部分和是否收敛。试图把这个级数的和求出来是徒劳的，你能做到的话，天下就是你的了，不过，我们可以把系数的积分式带进级数将得到： S_k(x)= ∑_{n≦k}[∫f(t)cosntdtcosnx+∫f(t)sinntdtsinnx] =∑_