振动力学结构力学.ppt

（i＝1，2，…n） 再变换到广义坐标{x}下 上述过程也可以在主坐标下进行。 则标准坐标下的总响应为 6.6 无阻尼系统的强迫振动 无阻尼系统响应分析步骤: （1）建立振动方程，确定质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]; （2）求固有频率和振型; （3）确定标准振型矩阵; （4）对初始条件标准化; （5）对激励标准化; （6）计算标准坐标响应; （7）计算广义坐标响应。 6.6 无阻尼系统的强迫振动 【T6-38】弹簧支撑的两个刚性均质杆，质量均为m，在B点用铰链连接, l＝3 m，若C点下面弹簧支撑点沿y轴方向按谐波函数yg=dsinwt运动。选B点的铅垂位移y和两杆绕B点的转角为广义坐标，求系统的稳态响应。 6.6 无阻尼系统的强迫振动 代入拉格朗日方程得 6.6 无阻尼系统的强迫振动 解： （1）用拉格朗日方程 6.6 无阻尼系统的强迫振动 3. 标准化振型与主振型的关系 将主振型 {X(i)}进行如下运算： 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 Mi称为广义质量（主质量、模态质量）。设{X(i)}＝ci {XN(i)}，代入上式有： 所以 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 6.2.4 自由振动的运动规律 求出特征方程的n个特征值和对应的特征向量后，即得到振动方程的n个线性无关的特解，系统按任意一个固有频率作自由振动，称之为主振动，则第i 阶主振动为 (i＝1,2,…n) 因而方程的通解应是上述特解的线性组合 或写为 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 其中常数ci、ai、Ai、Bi (i＝1,2,…,n)由初始条件确定。例如给出t＝0时的位移向量{x0}和速度向量{v0} ，则得到含有2n个方程的方程组 或 【T6-26】图示系统中, m1＝m2＝m3＝m, k1＝k2＝k3＝k, 设初始位移为1, 初始速度为0, 求初始激励的自由振动响应。 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 解： 则响应为： 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 将振型代入并展开： 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 前面的例题已经求得： 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 解出各系数即可… 代入初始条件得： 作业：T6-28 由广义特征值问题([K]－w2[M]){X}={0}知 6.3 主振型的正交性 6.3 主振型的正交性 两边分别左乘{X(j)}T 和{X(i)}T得到 与第一式相减得： 由于[K]和[M]都是对称阵，上面第二式可写为 6.3 主振型的正交性 显然也有： （i≠j） 结论：当刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]都是对称阵时，n个固有频率对应的固有振型之间关于[K]和[M]都是正交的。 所以： （i≠j） 6.3 主振型的正交性 这里的Mi和Ki是两个实常数，分别称为系统的主质量和主刚度（或称模态质量和模态刚度）。 由此可得到： 当i＝j 时： 6.3 主振型的正交性 6.4 主坐标 变换矩阵即振型矩阵，就是各阶振型组成的方阵 6.4.1 变换矩阵 6.4 主坐标 6.4 主坐标 6.4.2 广义质量和广义刚度的对角矩阵 广义质量（主质量、模态质量）矩阵[Mp]和广义刚度（主刚度、模态刚度）矩阵[Kp]：主对角线元素为相应的主质量和主刚度，其它元素为零。即 由主质量矩阵[Mp]和主刚度矩阵[Kp]可得到如下关系： 6.4 主坐标 对振动方程用振型矩阵进行变换 6.4.3 用主坐标表示的运动方程 代入方程后左乘[Q]T得 或 （i＝1，2，…n） 6.4 主坐标 这样原方程就变成了n个独立的(解耦的)固有频率为wi的简谐振动，这组广义坐标{Z}称为主坐标。 1. 标准振型矩阵 即由标准振型构成的方阵： 标准振型（正则振型）为 6.4 主坐标 6.4.4 标准坐标 则有如下关系： 同理有 6.4 主坐标 由于 还有如下关系： 2. 标准坐标（正则坐标）下的方程 对振动方程用正则振型矩阵进行坐标变换 代入方程得到 （i＝1，2，…n） 这组广义坐标{ZN}称为标准坐标(正则坐标)。 6.4 主坐标 设振动方程的初始条件为{x0}和 6.5 系统对初始激励的响应 6.5 系统对初始激励的响应 对其进行正则坐标变换，转换为标准坐标（正则坐标）下的初始条件: 利用单自由度的响应公式可得到初始激励下的正则坐标响应: （i＝1，2，…n） 再变换到广义坐标{x}下的响应 上述过程也可以在主坐标下进行。 6.5 系统对初始激励的响应 无阻尼系统对初始激励的响应分析步骤: （1）建立振动方程，确定质量矩阵[M]和刚