第五章信号检测与估计理论2.ppt

5.5 矢量估计 以上我们讨论了单参量的估计,下面我们估计多参量的估计问题,即矢量估计.这在实际中非常有用,如,雷达探测目标. 5.5 矢量估计 设 维矢量 需要估计，称为被估计矢量； 构造的估计矢量记为 ；估计的误差矢量为 均方误差为 其中 5.5.1 随机矢量的贝叶斯估计 我们讨论随机矢量 的最小均方误差估计和最大后验 估计。 1. 最小均方误差估计 矢量下的代价函数 是各分量误差的平方和，式中 。 使 最小，只要使每个分量的平均代价最小即可。即要求每个 参量估计的均方误差最小，这样就得到第j个参量的最小均方误差 估计 这意味着求 的最小均方误差估计，需要解由（5.5.5）式 所示的 个方程组成的联立方程。 2. 最大后验估计 类似地，对于随机矢量 的最大后验估计，必须求出使后验概率密度函数为最大的 ，将其作为最大后验估计量，需要解由 所示的 个方程组成的联立方程。 5.5.2 非随机矢量的最大似然估计 若被估计矢量 为非随机矢量,则其最大似然估计量 , 是使似然函数 为最大的 作为估计量。因 而其求解的最大似然方程组为 或 5.5.3 矢量估计量的性质 估计矢量 的性质，主要是无偏性和均方误差的下界，即克拉美——罗界。 1 非随机矢量情况 我们再通过信号处理中的一个例子来说明矢量估计量的 性质。 我们 知道，高斯分布是一种重要的分布，广泛应用在 信号处理中。现根据高斯分布的 个统计独立样本 ，估 计其均值 和方差 。 似然函数为 当 已知时，求 。 得 且 所以， 是无偏有效的估计量。 其均方误差为 当 已知，求 . 得 且 所以， 是无偏有效的估计量。 其均方误差为 当 和 同时估计时 ，估计方程为 联立解得 均值估计 是无偏的、有效的；方差估计 的均值为 它是有偏的，但是渐近无偏的估计量。 这说明，矢量估计的性质可能会有所降低，这是合理的。也可以推论，在各估计量之间相关的时候，矢量估计中的参量M越大，估计量的性能可能会越低。 2 随机矢量情况 5.5.4 非随机矢量函数估计的克拉美—罗界 5 .6 一般高斯信号参量的统计估计 5 .6 .1 线性观测模型 5.6.2 高斯噪声中非随机矢量的最大似然估计 5.6.3 高斯随机矢量的贝叶斯估计 5.6.4 随机矢量的伪贝叶斯估计 分两种 5.6.5 随机矢量的经验伪贝叶斯估计 5.7 线性最小均方误差估计 前面讨论的随机参量的贝叶斯估计，需要知道 或 及 ；非随机参量的最大似然估计，需要知道 。 如果仅知道 和 的前二阶矩知识，可以采用线性最小均方误差估计。 5.7.1 线性最小均方误差估计准则 我们首先讨论线性最小均方误差估计,其估计量构造的规则。 若被估计量是单参量 ，观测方程为 其中， 是已知的观测系数； 是观测噪声。线性最小均方 误差估计要求：估计量 是观测量 的线性函数，即 其中， 是一标量， 是 维行矢量； 、 待求；同时要求 估计量的均方误差最小，即 最小。我们把满足上述两个要求的估计量 ，称为线性 最小均方误差估计量 ，记为 。 若被估计量是 维矢量 ，观测方程为 其中， 是 维观测矢量； 是 观测矩阵；n 是 维 观测噪声矢量。线 性 最小均方误差估计要求：估计矢量 是观测矢量 的线 性 函数，即 其中，矢量 是待求的 维矢量，矩阵 是待求的 矩阵；同时要求均方误差最小，即 最小。我们把同时满足上述两个要求