复变函数与积分变换期末考试试题..docxVIP

复变函数与积分变换期末考试试题一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）的主值是?。（2）已知为解析函数，则?，?，?。（3）如果的Taylor级数为，则该级数的收敛半径为?。（4）设，则Res?。（5）设?则?。二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）若，则（?）（A）。?（B）（为任意整数）。（C）。?（D）（为任意整数）。（2）设曲线为单位圆，取正向，则积分（?）（A）0．?（B）。?（C）。?（D）。（3）如果级数在点处收敛，则该级数必在（?）（A）点处绝对收敛。?（B）点处条件收敛。（C）点处收敛。?（D）点处发散。（4）将平面上的曲线映射成平面上的曲线（?）（A）。?（B）?。?（C）。?（D）。（5）是函数的（?）（A）本性奇点。?（B）可去奇点。?（C）一级极点。?（D）二级极点三、（10分）已知调和函数，求调和函数，使成为解析函数，并满足。四、（25分）计算下列积分：（1），其中是从到的直线段；（2），正向（3），正向（4）；（5）。五、（15分）将函数分别在下列圆环域内展开成Laurent级数。（1）；?（2）；?（3）。六、（5分）已知函数（），求的Fourier变换。七、（10分）应用Laplace变换解微分方程：八、（5分）如果是区域内的解析函数，那么在内是否一定也是解析函数？为什么？参考答案一、（1）；??（2）1，-3，-3；??（3）1；??（4）；??（5）二、（1）D；??（2）A；??（3）A；??（4）A；??（5）C三、由知，?。由方程知，所以.又，故有，所以。因此.由可得，所以.四、（1）在曲线上，..（2）是在内的二级极点,?是在内的一级极点.?Res?Res原式.（3）原式.（4）.分别是在上半平面内的两个一级极点.?Res?Res原积分?（5）令，则原式是在内部的2级极点，是在内部的一级极点.原式五、（1）时，（2）?（3）六、。..七、令。方程两边取Laplace变换，得.即??.解得??.是的二级极点，是的一级极点Res.Res八、因为是内的解析函数，由方程，，???（1）如果也是内的解析函数，则，??.（2）为使（1），（2）同时成立，当且仅当.所以（为常数）.因此，只有当在内为常数时，才能在内解析，否则不解析.