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概率统计试题(A卷).
概率统计试题(A卷)
一、填空(每题3分,共24分)
1.同时抛掷3枚均匀的硬币,则恰好出现两枚正面向上的概率为(3/8 )。
2.若随机变量,,且是相互独立的,则联合密度函数为( F(X,Y)= 1 0<X<1, 0<Y<1 )。 0 其他
3. 设A、B为独立二事件,且P(AUB) = 0.6,P(A) = 0.4,则P(B) = ( 1/3 )。
4.已知E(X) = 3,D(X) = 5,则E(X+2)2 =( 25 )。
5.若D(X) = 25,D(Y) = 36,ρXY= 0.4,则cov(X,Y) = ( 12 ),D(X +Y) = ( 85 ),D(X?Y) =( 37 )。
6.设(X1,X2,???,Xn)来自正态总体X~ N(?,?2)的一个简单随机样本,则~((u,(σ^2)/n))。
7.设随机变量ξ的数学期望为Eξ= μ,Dξ=σ2,则由切贝谢夫不等式可知P{|ξ-μ|≥2σ}的值为(1/4 )。
8.设(X1,X2,???,Xn)来自正态总体X~N(?,?2)的一个简单随机样本,?,?2未知,则检验假设H0:? = ?0 所用的统计量为( ),它服从( T )分布,自由度为( N-1 )。
二、(10分)
设一批产品共有100件,其中合格品95件,次品5件,从中任取10件,求:
(1)10件全是合格品的概率;(2)恰有两件是次品的概率。
参考答案:
1)2件都是合格品的概率=C(95,2)/C(100,2)= 0.9025
2)2件都是次品的概率=C(5,2)/C(100,2)= 0.0025
三、(15分)
已知随机变量X服从N (0.8,0.0032) ,试求:
(1)P(X? 0.8036);(2)P(|X?0.8| ? 0.006);(3)满足P(X?C) ? 0.95的C。
(取:Φ0(?1.2)= 0.1151,Φ0(?2)= 0.02275,Φ0(1.65)= 0.95)
参考答案:
1)P(X≤0.8036)=Φ0(1.2)=1-Φ0(-1.2)=1-0.1151
2)P(|X-0.8|≤0.006)=Φ0(2)-Φ0(-2)=1-2Φ0(-2)=1-2*0.02275
3)(X≤C)=Φ0[(C-0.8)/0.003]=0.95 (C-0.8)/0.003=1.65
四、(11分)
设总体X服从0-1分布:P{X = x} = px (1?p)1?x ,x = 0,1。
求参数p的极大似然估计
参考答案:
解:
因为
求导 ,解方程可得p的极大似然估计为
五、(20分)
设随机变量X的密度函数为
Ax, 0≤x≤1
f(x) = A(2?x), 1 x ≤2
0, 其它
试求:(1)常数A; (2)X的分布函数F(x);
(3)P{1/2≤x≤2/3};(4)若P {xa}= P {xa},确定常数a。
参考答案:
六、(10分)
某种零件的长度服从正态分布。已知总体标准差? =1.5,从总体中抽取200个零件组成样本,测得它们的平均长度为8.8cm。试估计在95%的置信水平下,全部零件平均长度的置信区间(取uα/2=1.96)。
七、(10分)
设从均值为 ?,方差为 ?2 0的总体中,分别抽取容量为n1,n2的两个独立样本,分别是两样本的均值。
证明:(1)对于任意常数a,b,(a + b = 1),都是 ? 的无偏估计;
(2)确定常数a,b,使D(Y) 达到最小。
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