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概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章.
第七章 参数估计
1.[一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm计)
74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002
求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S2。
解:μ,σ2的矩估计是。
2.[二]设X1,X1,…,Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
(1) 其中c0为已知,θ1,θ为未知参数。
(2) 其中θ0,θ为未知参数。
(5)为未知参数。
解:(1),得
(2)
(5)E X mp 令mp , 解得
3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解:(1)似然函数(解唯一故为极大似然估计量)
(2)
。解唯一故为极大似然估计量。
(5),
解得 ,(解唯一)故为极大似然估计量。
4.[四2] 设X1,X1,…,Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
解:(1)矩估计 X ~ π λ ,E X λ,为矩估计量。
(2)极大似然估计,
为极大似然估计量。
(其中
5.[六] 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分,随机地自该地区取100个样品,每个样品有10块石子,记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立,并由过去经验知,它们都服从参数为n10,P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值,该地质学家所得的数据如下
样品中属石灰石的石子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 观察到石灰石的样品个数 0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0 解:λ的极大似然估计值为0.499
[四1] 设总体X具有分布律
X 1 2 3 Pk θ2 2θ1-θ 1-θ 2 其中θ0θ1为未知参数。已知取得了样本值x11,x22,x31,试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
解:(1)求θ的矩估计值则得到θ的矩估计值为
(2)求θ的最大似然估计值
似然函数
ln Lθ ln2+5lnθ+ln1-θ
求导得到唯一解为
8.[九1] 设总体X ~N(μ,σ 2),X1,X1,…,Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使的无偏估计。
解:由于当。
[十] 设X1,X2, X3, X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本,其中θ未知,设有估计量
(1)指出T1,T2, T3哪几个是θ的无偏估计量;
(2)在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。
解:(1)由于Xi服从均值为θ的指数分布,所以
E Xi θ, D Xi θ 2, i1,2,3,4
由数学期望的性质2°,3°有即T1,T2是θ的无偏估计量
(2)由方差的性质2°,3°并注意到X1,X2, X3, X4独立,知
D T1 D T2
所以T2较为有效。
14.[十四] 设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N ~(μ,σ2),求μ的置信度为0.95的置信区间。(1)若由以往经验知σ0.6(小时)(2)若σ为未知。
解:(1)μ的置信度为0.95的置信区间为(),
计算得
(2)μ的置信度为0.95的置信区间为(),计算得,查表t0.02582.3060.
16.[十六] 随机地取某种炮弹9发做试验,得炮弹口速度的样本标准差为s11m/s。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。
解:σ的置信度为0.95的置信区间为
其中α0.05, n9
查表知
19.[十九] 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布,并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为n1n220.得燃烧率的样本均值分别为设两样本独立,求两燃烧率总体均值差μ1-μ2的置信度为0.99的置信区间。
解:μ1-μ2的置信度为0.99的置信区间为
其中α0.01,z0.0052.58, n1n220,
20.[二十] 设两位化验员A,B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定,其测定值的样本方差依次为分别为A,B所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的。设两样本独立,求方差比的置信度为0.95的置信区间。
解:的置信度为0.95的置信区间
0.222, 3.601.
其中n1n210,α0.05,F0.0259,94.03, 。67
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