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概率论与数理统计浙大四版习题答案第五章.
第五章 大数定理和中心极限定理
1.[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现在随机的抽取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。
解:设第i只寿命为Xi,(1≤i≤16), Xi 100,D Xi 1002l1,2,…,16.依本章定理1知
从而
3.[三] 计算机在进行加法时,对每个加数取整(取为最接近它的整数),设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布,
(1)若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?
(2)几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90解:
(1)设取整误差为Xi(,1500),它们都在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布。于是:8.某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8,医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断言的概率是多少?(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问接受这一断言的概率是多少?
解:设X为100人中治愈的人数,则X~B n, p其中n100
(1)
(2)p0.7由中心极限定理知
7.[七] 一复杂的系统,由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。
(2)一个复杂的系统,由n个互相独立起作用的部件所组成,每个部件的可靠性(即部件工作的概率)为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作,问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。
解:(1)设每个部件为Xi i1,2,……100
设X是100个相互独立,服从(0-1)分布的随机变量Xi之和
XX1+ X2+……+ X100
由题设知 n100 P Xi1p0.9, P Xi00.1E Xi p0.9D Xi p 1-p0.9×0.10.09n·E Xi 100×0.990, n D Xi 100×0.099由中心极限定理知查标准正态分布表φ1.67
0.9525
解:(2)设每个部件为Xi i1,2,……n
P Xi1p0.9, P Xi01-p0.1
E Xi p0.9, D Xi 0.9×0.10.09
由问题知 求n?
而1-由中心极限定理知查标准正态分布表得
解得n≥24.35
取n25,即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.
[八] 随机地取两组学生,每组80人,分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值,各人测量的结果是随机变量,它们相互独立,且服从同一分布,其数学期望为5,方差为0.3,以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均:
(1)求P 4.9 (2)
解:由中心极限定理知
~N 0,1 ~N 0,1
(1)
(2)由Xi , Yj的相互独立性知独立。从而U,V独立。
于是U-V~N 0, 2
而2×0.8749-10.7498
[九] 某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望μ(未知),方差σ2400 为了估计μ,随机地取几只这种器件,在时刻t0投入测试(设测试是相互独立的)直到失败,测得其寿命X1,…,Xn,以作为μ的估计,为使问n至少为多少?
解:由中心极限定理知,当n很大时所以
查标准正态分布表知
即n至少取1537。58
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