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概率论与数理统计第五章习题.
概率论与数理统计习题
第五章 大数定律及中心极限定理
习题5-1 据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。
解:设第i只寿命为Xi,(1≤i≤16), Xi 100,D Xi 1002l1,2,…,16.依本章定理1知
从而
习题5-2 设各零件的重量都是随机变量,它们相互独立且服从相同的分布,其数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg ,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少?
解, 所以由独立同分布中心极限定理知,1-0.9210.079.
习题5-3 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m,现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3m的概率是多少?
解设100根中有X根短于3m,则X~B(100,0.2)
从而
0.10 ,为了使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作,求整个系统起作用的概率.
(2)一复杂的系统由个相互独立起作用的部件所组成.每个部件的可靠性为0.90,且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作,问至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95?
解:(2)设每个部件为Xi i1,2,……n
P Xi1p0.9, P Xi01-p0.1
E Xi p0.9, D Xi 0.9×0.10.09
由问题知 求n?
而1-由中心极限定理知查标准正态分布表得
解得n≥24.35
取n25,即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.
习题5-5 随机地选取两组学生,每组80人,分别在两个实验室里测量某种化合物的pH值.各人测量的结果是随机变量,它们相互独立,且服从同一分布,其数学期望为5,方差为0.3,以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均:(1)求;
(2)求
(1)求P 4.9 (2)
解:由中心极限定理知
~N 0,1 ~N 0,1
(1)
(2)由Xi , Yj的相互独立性知独立。从而U,V独立。
于是U-V~N 0, 2
而2×0.8749-10.7498
习题5-6 某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望(未知),方差为了估计,随机地取只这种器件,在时刻投入测试(设测试是相互独立的)直到失败,测得其寿命为,以作为的估计.为了使,问至少为多少?
解:由中心极限定理知,当n很大时所以
查标准正态分布表知
即n至少取1537。
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