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概率论第一章.
第一章 随机事件及其概率
习题一
1举出几个必然事件、不可能事件和随机事件的例子.
解 (1)设v10为10次射击命中次数,则
{5<v10≤8=——随机事件,
{v10≤10}——必然事件,
{v10>10}——不可能事件;
(2)掷一枚骰子试验中,
{出现偶数点}——随机事件,
{出现i点}(i=1,2,…,6)——随机事件,
{出现点数小于7}——必然事件,
{点数不小于7}——不可能事件;
(3)盒中有2个白球,3个红球,从盒中随机取出3球,则
{取出的3个球中含有红球}——必然事件,
{取出的3个球中不含红球}——不可能事件.
2互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系:
(1)|x-a|<δ与x-a≥δ;
(2)x>20与x≤20;
(3)x>20与x<18;
(4)x>20与x≤22;
(5)20个产品全是合格产品与20个产品中只有一个废品;
(6)20个产品全是合格产品与20个产品中至少有一个废品.
解 对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件.对立事件和互不相容事件的共同特点是事件间没有公共的样本点,但两个对立事件的并(和)等于样本空间,即若A与是两个对立事件,则A=,A+=Ω;而两个互不相容事件的并(和)被样本空间所包含,即若A与B是两个互不相容事件,则AB=,且A+BΩ.
(1)由于{x||x-a|<δ=∩{x|x-a≥δ}=,且{x||x-a|<δ=∪{x|x-a≥δ}R,所以事件|x-a|<δ与x-a≥δ是互不相容事件;
(2)由于{x|x>20}∩{x|x≤20}=,且{x|x>20}∪{x|x≤20}=R,所以事件x>20与x≤20是对立事件;
(3)由于{x|x>20}∩{x|x<18}=,且{x|x>20}∪{x|x<18}=R,所以事件x>20与x<18是互不相容事件;
(4){x|x>20}∩{x|x≤22}≠,所以事件x>20与x≤22是相容事件;
(5)设事件A={20个产品全是合格品},事件B={20个产品中只有一个废品},显然AB=,A+BΩ={20个产品},所以A与B是互不相容事件;
(6)设事件A={20个产品全是合格品},事件B={20个产品中至少有一个废品},显然AB=Φ,A+B=Ω={20个产品},所以A与B是对立事件.
3写出下列随机试验的样本空间.
(1)10只产品中有3只是次品,每次从其中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出,记录抽取的次数;
(2)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数;
(3)测量一汽车通过给定点的速度.
解 (1)将3只次品都取出,至少要抽取3次,而最多抽取10次即可,故所求样本空间
Ω={3,4,…,9,10};
(2)最理想的情形是开始生产的10件产品都是正品,故所求样本空间
Ω={10,11,12,…};
(3)若不考虑汽车的运动方向,则所求样本空间
Ω={v|v>0}.
若考虑汽车的运动方向,θ表示该运动方向与正东方向之间的夹角,则所求样本空间
Ω={(vcosθ,vsinθ)|v>0,0≤θ<2π=.
4事件A表示在三件被检验的仪器中至少有一件为废品,事件B表示所有的仪器为合格品,问事件(1)A∪B;(2)A∩B各表示什么意义?
解 (1)A∪B=Ω; (2)A∩B=.
5设A,B,C为三个随机事件,试将下列事件用A,B,C来表示:
(1)仅仅A发生;
(2)三个事件都发生;
(3)至少有两个事件发生;
(4)恰有一个事件发生;
(5)没有一个事件发生;
(6)不多于两个事件发生.
解 (1)A;
(2)ABC;
(3)AB∪AC∪BC;
(4)A∪B∪C;
(5);
(6)AB.
7袋内装有5个白球,3个黑球,从中任取两个球,求取出的两个球都是白球的概率. 解 随机试验是从8个球中任取2个,样本空间所包含的样本点总数为n=C28.
设事件A={取出两个球均为白球},此时,事件A包含的样本点数为k=C25,故
P(A)= k / n = C25 / C28≈0.357.
8一批产品共200个,其中有6个废品,求:(1)这批产品的废品率;(2)任取3个恰有一个是废品的概率;(3)任取3个全是废品的概率.
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