概率论第一章..docVIP

第一章 随机事件及其概率 习题一 1举出几个必然事件、不可能事件和随机事件的例子. 解 (1)设ｖ１０为10次射击命中次数，则 ｛５＜ｖ１０≤８＝——随机事件， ｛ｖ１０≤１０｝——必然事件， ｛ｖ１０＞１０｝——不可能事件； (2)掷一枚骰子试验中， ｛出现偶数点｝——随机事件， ｛出现ｉ点｝（ｉ＝１，２，…，６）——随机事件， ｛出现点数小于7｝——必然事件， ｛点数不小于7｝——不可能事件； (3)盒中有2个白球，3个红球，从盒中随机取出3球，则 ｛取出的3个球中含有红球｝——必然事件， ｛取出的3个球中不含红球｝——不可能事件. 2互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系： (1)｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ； (2)ｘ＞２０与ｘ≤２０； (3)ｘ＞２０与ｘ＜１８； (4)ｘ＞２０与ｘ≤２２； (5)20个产品全是合格产品与20个产品中只有一个废品； (6)20个产品全是合格产品与20个产品中至少有一个废品. 解 对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件.对立事件和互不相容事件的共同特点是事件间没有公共的样本点，但两个对立事件的并(和)等于样本空间，即若A与是两个对立事件，则A＝，A＋＝Ω；而两个互不相容事件的并(和)被样本空间所包含，即若A与B是两个互不相容事件，则AB＝，且Ａ＋ＢΩ. (1)由于｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∩｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝＝，且｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∪｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝Ｒ，所以事件｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ是互不相容事件； (2)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝Ｒ，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤20是对立事件； (3)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ＜18｝＝，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ＜18｝＝R，所以事件x＞２０与x＜１８是互不相容事件； (4)｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２２｝≠，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤２２是相容事件； (5)设事件Ａ＝｛２０个产品全是合格品｝，事件Ｂ＝｛20个产品中只有一个废品｝，显然ＡＢ＝，Ａ＋ＢΩ＝｛２０个产品｝，所以A与B是互不相容事件； (6)设事件Ａ＝｛20个产品全是合格品｝，事件B＝｛20个产品中至少有一个废品｝，显然AB＝Φ，Ａ+Ｂ＝Ω＝｛20个产品｝，所以A与B是对立事件. 3写出下列随机试验的样本空间. (1)10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只(取出后不放回)，直到将3只次品都取出，记录抽取的次数； (2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数； (3)测量一汽车通过给定点的速度. 解 (1)将3只次品都取出，至少要抽取3次，而最多抽取10次即可，故所求样本空间 Ω＝｛３，４，…，９，１０｝; (2)最理想的情形是开始生产的10件产品都是正品，故所求样本空间 Ω＝｛１０，１１，１２，…｝; (3)若不考虑汽车的运动方向，则所求样本空间 Ω＝｛v｜v＞０｝. 若考虑汽车的运动方向，θ表示该运动方向与正东方向之间的夹角，则所求样本空间 Ω＝｛（vｃｏｓθ，vｓｉｎθ）｜v＞０，０≤θ＜２π＝. 4事件A表示在三件被检验的仪器中至少有一件为废品，事件B表示所有的仪器为合格品，问事件(1)Ａ∪Ｂ；（２）Ａ∩Ｂ各表示什么意义? 解 (1)Ａ∪Ｂ＝Ω; （２）Ａ∩Ｂ＝. 5设A，B，C为三个随机事件，试将下列事件用A，B，C来表示： (1)仅仅A发生； (2)三个事件都发生； (3)至少有两个事件发生； (4)恰有一个事件发生； (5)没有一个事件发生； (6)不多于两个事件发生. 解 （１）Ａ； （２）ＡＢＣ；  （３）ＡＢ∪ＡＣ∪ＢＣ； （４）Ａ∪Ｂ∪Ｃ； （５）； （６）ＡＢ. 7袋内装有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率. 解 随机试验是从8个球中任取2个，样本空间所包含的样本点总数为n=C28. 设事件A={取出两个球均为白球}，此时，事件A包含的样本点数为k=C25，故 P(A)= k / n = C25 / C28≈0.357. 8一批产品共200个，其中有6个废品，求：(1)这批产品的废品率；(2)任取3个恰有一个是废品的概率；(3)任取3个全是废品的概率.