因式分解的十二种方法方案.doc

因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、 分解因式x -2x -x2003淮安市中考题 x -2x -xxx -2x-1 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b 2003南通市中考题 a +4ab+4b （a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到am+n+bm+n,又可以提出公因式m+n,从而得到a+bm+n 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m m -5m -mn+5n m -5m +-mn+5n mm-5-nm-5 m-5m-n4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×bm,c×dq且ac+bdp,则多项式可因式分解为ax+dbx+c 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21-19 7x -19x-6（7x+2）x-3 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40x +3x+ - -40 x+ - x+ + x+ - x+8x-5 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bcb+c+cac-a-aba+b bcb+c+cac-a-aba+bbcc-a+a+b+cac-a-aba+bbcc-a+cac-a+bca+b-aba+b c+bc-aa+b 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来. 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+22x +1-xx +1-6x x [2x + -x+ -6 令yx+ , x [2x + -x+ -6 x [2y -2-y-6] x 2y -y-10 x y+22y-5 x x+ +22x+ -5 x +2x+1 2x -5x+2 x+1 2x-1x-2 8、 求根法 令多项式fx0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为fxx-x x-x x-x ……x-x 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 令fx2x +7x -2x -13x+60 通过综合除法可知,fx0根为 ,-3,-2,1 cc-ab+a+ba+bc-a 则2x +7x -2x -13x+62x-1x+3x+2x-1 9、 图象法 令yfx,做出函数yfx的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为fx fxx-x x-x x-x ……x-x 例9、因式分解x +2x -5x-6 令y x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6x+1x+3x-2 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 例10、分解因式a b-c+b c-a+c a-b 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 a b-c+b c-a+c a-ba b-c-ab -c +b c-c b b-c [a -ab+c+bc] b-ca-ba-c 11、 利用特殊值法 将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式. 例11、分解因式x +9x +23x+15 令x2,则x +9x +23x+158+36+46+15105 将105分解成3个质因数的积,即1053×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x2时的值 则x +9x +23x+15（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 设x -x -5x -6x-4x +ax+bx +cx+d x +a+cx +ac+b+dx +ad+bcx+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 x +x+1