《三级方阵的平方根问题》.doc

三级方阵的平方根问题 摘要：本文研究了三级方阵的平方根问题，指出了并修正了现行一些文献中的错误，寻求一种新的研究方法，本方法对一般的级方阵的平方根研究有着某些启发作用。 关键词：矩阵；平方根；Jordan标准形 Three grade matrix of the square root problem LIU Juan Department Mathematics of Xiaogan university 0座机电话号码, Xiaogan Hubei 432100 China Abstract: This article researches the square root of three grade matrix, and points out that some of the existing literature mistakes and seek a new research method, the general method for the square root level phalanx some research has inspired. Keywords: matrix; Square root ;Jordan- standards .１　引言及定义 矩阵方程是矩阵研究领域的一个重要方向。一些研究者研究了矩阵的开平方问题，如N.Mackinnon给出了4种求可对角化矩阵平方根方法[1]，D.sullvan研究了22矩阵平方根的存在性问题及一般求法[2]，比较完整地解决了一般2×2矩阵的平方根问题，有关详细结果可参见文献[2]或其译文[3]；朱德高就含有1个和2个Jordan块的Jordan标准形矩阵的平方根问题进行了研究［4－5］；吴小明就一般情形下Jordan标准形矩阵的平方根的某些问题进行了讨论[6]。 定义1[4]　若，那么方阵就称为的平方根。 一般而言，对任意级方阵的平方根的两个主要问题，即判断其存在性及如何求平方根问题，至今还未完全解决，许多文献仅就某些特殊情形如可逆阵，可对角化阵进行了讨论，文献[4-6]对Jordan块，文献[10]对三角形托普勒兹矩阵等类型方阵的平方根问题进行了研究。另外文献[9]讨论了三角平方根问题，得到了一个一般性结论，经过分析，我们发现其结论是错误的，实际上[7]、[8]等文献中的结论也是错误的，下文中我们将构造反例否定其结论。 关于方阵的平方根问题，完全获得解决的是关于正定阵及半正定阵的平方根问题，一般方阵的平方根问题是现阶段矩阵论研究中为许多人比较关注的一个方向，至今未见比较好的结果。加强本问题的研究具有一定的理论意义及应用价值。 本文将重点研究三级方阵的平方根问题，一种原因是现有的22矩阵平方根研究手段并不适合于三级方阵，需要寻求一种新的研究方法，而且该方法对一般的级方阵的平方根研究有着某些启发作用，另一原因是现行文献中的某些结论仅对二级方阵成立，但对三级及更高级方阵并不成立，通过对三级方阵的平方根问题的讨论，分析其错误原因，据此构造一些反例。 2　定理与证明 下面引理将指出，对任一方阵的平方根的讨论都可以转化为Jordan标准形的讨论。 引理1设方阵的Jordan标准形为diag，这里（） 均为Jordan块，则存在平方根的充分必要条件为diag存在平方根。 证明　设，若存在平方根，即，则 ． 反之，若diag有平方根，即 则，从而得到 ． 引理得证。 如何判断Jordan块的平方根的存在性，以及在存在时求出其所有平方根，我们以下例说明本文所用的方法： 例 证明（）存在平方根，并求出其所有的平方根。 证明　设，（），使得，记 则， 于是，由，得，即得 ，比较两矩阵的对应元素，得（） 于是，，故有 解之得：或 代入（）式一定有平方根，且仅有两个平方根。 引理2[4] 设是一个特征值为的m阶Jordan块，其中为复数，则能开平方的充要条件是，或当时，，且有i当时，若，则之平方根矩阵恰有一个；若，时，则之平方根矩阵恰有两个，这里； ii当时，若中，则的平方根矩阵恰有两个：． 定理1 若级方阵可逆，则一定存在平方根。 证明　设方阵的Jordan标准形为diag，由于可逆，所以，由引理2，得均有平方根，故diag有平方根，从而由引理1可得，一定存在平方根。 定理2[8] 若级方阵可以对角化，则一定存在平方根。 证明 设可对角化，则存在可逆矩阵使得 令则，再令，从而，即有平方根。 推论　若级方阵有个不同的特征值，则一定存在平方根。 证明　因为级方阵有个不同的特征值，所以可以对角化，由定理2得，一定存在平方根。 对一般的三级方阵，是否存在三级方阵，使得。由引理1知，对任一矩阵的平方根的讨论，可以转化为对所有三级Jordan标