數學解題-師大數學系.ppt

數學解題 報告者：國立台灣師範大學數學系張幼賢 壹、對於「解題」典型的解釋 貳、解題基本要素 參、解題的觀點 肆、解題的目的 伍、參考解題訓練 陸、雜例 壹、對於「解題」典型的解釋： 一、問題解決是心理活動：面臨新環境或課題發生矛盾而沒有現成對策時，所引起尋求解決辦法的一種活動。 二、問題解決是一個過程：“將先前已獲得的知識用於新的不熟悉的過程稱為解決問題” NCSM, 美國全國數學管理者大會，所以問題解決是一個發現的過程、探索的過程及創新的過程 。 三、問題解決是一個目的：“學習數學的主要目的在於問題解決”NCSM，所以學習怎樣解決問題就成為學習數學的根本原因。此時，問題解決就獨立於特殊問題、獨立於一般過程及方法、也獨立於數學的具體內容。 四、問題解決是一種能力：即把數學用於各種情況的能力，這也是生存的本領。 傳統上的解題或數學家們，把「題」作為考察對象，把「解」作為研究的目的。這些精明的數學結果只告訴我們“應用了什麼數學方法”，“得到了什麼數學結論”。但大多數人想知道的是“怎樣應用數學方法”，“如何發現數學結論”。今天我們要討論的是“如何尋找解題規律”及“怎樣學會解題”。我們將透過解題過程的分析去探索“怎樣學會解題”。 貳、解題基本要素： 解題的知識因素 解題的能力因素 解題的經驗因素 解題的非智力因素 一、 知識結構：波利亞曾說：「貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本。」希望提高解題效率的人都必須對下列三項下功夫： 1熟練掌握數學基礎知識系統─教材的概念系統、定理系統、符號系統、數學競賽的基本理論。 2深刻理解數學概念，準確掌握數學定理、公式和法則。 3熟習基本的邏輯規則和常用的解題方法，累積不斷出現的數學技巧。 二、 思維能力： 解題能力表現於發現問題、分析問題、解決問題的敏銳性、洞察力及整體把握。其主要成分是三種基本數學能力運算能力、邏輯思考能力、空間想像能力，重點是能否掌握正確的思維方法包括邏輯思維與非邏輯思維，其基本要求為： 1掌握解題的科學程序； 2掌握數學中常用的思維方法如觀察、試驗、歸納、演繹、類比、分析、綜合、抽象、概括等； 3掌握解題的基本策略，能因題制宜地選擇適當的解題思路，使用有效的解題方法，運用精明的解題技巧； 4具有敏銳的直覺。 三、 經驗題感：解題具有實踐性與探索性的特徵，解題就像游泳、彈鋼琴與騎腳踏車一樣，只能透過模仿和實踐來學到它。你想學會游泳，就必須下水；你想成為解題高手，就必須去解題。弗里德曼曾說過：「解題不能教會，只能靠自己學會。」強調解題經驗實踐的原因是： 在解題實踐中，有時會成功、有時會失敗，這兩方面的經驗累積，都能形成長久保留價值或借鏡的經驗。所謂解題經驗就是某些數學經驗、某些解題方法與某些條件的組合。成功是一種有效的有序組合，失敗是一種無效的無序組合─不過它可從反面提供有效有序組合有用的資訊。成功經驗所獲得的有效有序組合，遇到合適的場所就可以套用上。弗里德曼特別強調「在解題時不具備一般能力的基本原因在於沒有經常親自動手進行分析，沒有從一般的運算方法及理論依據進行分析。」在解題中，一個人能避開岐路、繞過困難點、從眾多可能的途徑中迅速選出正確的一條途徑，的確是一定數學經驗調控的結果。解題成功就在於回憶他經驗中用得上的東西和他的解題思維聯繫起來。解題經驗的累積有利於解題念頭的誘發，有助於直覺性題感的形成。題感是世人們對問題整體的感受，它是思維變遷的一種潛在表現，而實質上是一種數學觀念、數學意識，常表現為整體把握及成功思路的預感、預測和預見。 四、 情感態度：這裡主要是指良好的心理素質，如動機、興趣、抱負、態度、品德和意志等。這些非智力因素對於解題的作用與其對於發明、發現的作用是一樣的。華羅庚曾說：「聰明在於學習，天才在於累積。」陳省身亦認為他對學數學的體會是 「要用功，不用功什麼也談不上。」波利亞也曾說：「我認為解題是純粹的智能活動是錯誤的，決心與情緒所起的作用很重要。」他強調說：「教學生解題是意志的教育，當學生求解那些對他來說並不容易的題目時，他學會了敗而不餒，學會了讚賞微小的進展，學會等待主要念頭，學會了當主要念頭出現後全力以赴。如果學生在學校裡沒有機會嘗試為求解而產生的喜怒哀樂，那麼他的數學教育就在最重要的地方失敗了。」 參、解題的觀點 弄清問題 未知數是什麼？已知數據是什麼？條件是什麼？ 條件是否充分來解未知數或不足、或多餘、或矛盾？ 畫圖、引入適當的符號； 把條件個別分開，是否能把它寫出來？ 擬定解題計畫 找出已知數與未知數之間的關係； 如果找不到直接的關係，可否找到有用的輔助問題； 得到求解計畫 實踐計畫 實踐個人求解計畫，檢驗每個步驟； 清楚看出或證明步驟的正確性。 回顧或驗算所得的解 檢驗這個論證； 可否用其他的方法導出