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清晰概念导入，突显数学本质 ——以苏科版高一数学必修2“直线的斜率”教学为例 江苏省常州市新北区教研室 万荣庆地址：江苏省常州市新北区衡山路8号 337邮编：213022邮箱： wrq@xbedu . net手机：1座机电话号码03 直线的斜率是高中数学的一个基本概念，也是学习解析几何的基础，其内容形式虽简单，但教师在教材处理和具体教学时，常常理不清概念的来龙去脉，看不透数学本质，更多关注的是对斜率结论的记忆和应用，缺少对斜率概念清晰产生过程的探析和对数学学习本质的理解。现以苏科版高一数学教材必修2内容为例，谈谈个人对直线斜率概念导入的理解和对苏科版教材处理的几点想法，以便我们在教学中能更好地理清斜率概念，突显数学本质。 一、清晰导入“直线的斜率”概念 平面上任意画一条直线，这条直线在我们视觉中有不同的倾斜度，图1中的 l1给人感觉倾斜得“大”，l2给人感觉倾斜得“小”， 那么如何用数量来刻画这里的“大”和“小”呢？ 初中阶段已经学习过用坡度来刻画山坡或楼梯倾斜度，如图2， 山坡AB的坡度iP1H∥水平线AS，P2H⊥P1H，当P1H不变，P2H值越大则i值越大，则山坡AB倾斜程度就越大，亦即直线AB的倾斜程度越大。因此，我们可用坡度i来刻画斜坡AB的倾斜度。但这里问题来了，生活中我们还会遇到像图3的峭壁AB，这时AB倾斜似乎已斜过了“头”，对于这种斜过了“头”的特征又如何用数量来描述其倾斜度呢？事实上，生活中常常会遇到一些过了“头”的现象，如：钱用过了“头”，水库的水位降过了“头”。这时我们是用数学中的负数来描述它的。因此对于图3倾斜过了“头”的峭壁AB，我们同样可用负数来刻画它，认作AB的倾斜度i－。对于平面上任意一条直线（如图4），可类似地描述其倾斜度：首先确定一条水平线s作为基线，在l1（或l2）上任意取两点P1，P2，作P1H∥s，P2H⊥s，则可描述直线l1的倾斜度，而对于l2则可用－来描述其倾斜度。 有了上述认识后，我们又怎样来刻画平面直角坐标系中直线l的倾斜度呢？在图5中，直线l1上任取两点P1，P2，因有了直角坐标系，故设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则以x轴为水平线，作P1H∥x轴，P2H⊥x轴，所以l1的倾斜度，这里就可用P1，P2的坐标来描述l1的倾斜度了。接着考虑在l2中，由于l2斜过了“头”，所以l2的倾斜度－。这里我们发现：l1与l2的倾斜度若用点的坐标来描述的话，它们都表现为形式，这是一个多么完美的统一。至此，在直角坐标系中直线l（不论是l1还是l2形态）的倾斜度可用描述，我们把这个值称为直线l的斜率，记为k，即k。这里若k≥0，则直线为l1形态，若k＜0，则直线为l2形态。可是这种用来刻画直角坐标系中直线l的倾斜度有一个缺陷，就是当l⊥x轴时（即x1x2），不存在。但这不影响我们用其来刻画一般直线的倾斜度，只要分析说明，即：当x1x2时（即l⊥x轴）其斜率不存在；当x1≠x2时，直线l的斜率k（其中，k≥0时，直线为l1形态，k＜0时，直线为l2形态）。 上述我们是从山坡的坡度i角度导入，清晰地引入了一个刻画直角坐标系中直线的倾斜度的量——斜率k。那么是否还可以用另外的数量来刻画直线的倾斜程度呢？我们在观察图6山坡AB时很明显发现山坡的坡角α的大小也能决定山坡的倾斜程度。 当α的值变大，则山坡AB的倾斜度也大，当α的值变小，山坡AB倾斜度也小。特别是对于图6中的第二个图，当峭壁AB倾斜过“头”时，仍可用α刻画其倾斜度（此时α＞90°）。因此我们可用α来刻画图7中平面上任意一条直线的倾斜度（其中s为水平基线），此时α称为倾斜角，简称倾角。这种用倾角α来刻画直线的倾斜程度，有一个明显的优点，就是α能刻画直线的所有形态。当l为l1形态时，0°≤α＜90°；当l⊥s时， α90°；当l为l2形态时，90°＜α＜180°。这种用倾角α来刻画直线的倾斜度显得更完美。特别地，我们可类似地用倾角α来描述图8直角坐标系中直线l的倾斜度。通过上述分析，在直角坐标系中，可用斜率k和倾角α来刻画直线的倾斜度，那么两者有何联系？我们不妨在图8中的l1（或l2）上任意取两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且x1≠x2，则对于直线l1有tanαk，而对于斜过“头”的l2同样可用tanα－k表示。所以，不论是l1形态，还是l2形态，都有tanαk。同时,若l⊥x轴时，k不存在，而此时α90°，tanα也不存在。这又是一个完美的统一。 其实，在平面直角坐标系中（其实也可在一般平面上都可用斜率k和倾角α来刻画直线的倾斜程度。当k或α确定一个值后，这条直线就表示一种形态，即一种方向。因此用斜率k或倾角α可来刻画一条直线的方向（初中用方位角所表示直线的方向，如直线AB北偏东30°方向，即是其中更生活化的表示）