离散数学 图论课件第二章_树.ppt

* * 图论及其应用 四川理工学院理学院 第二章 树 本章主要内容 一、树的概念与性质 二、生成树 三、最小生成树 1、树的概念 一、树的概念与应用 定义1 不含圈的图称为无圈图，树是连通的无圈图。 例如：下面的图均是树 树T1 树T2 树T3 树T4 定义2 称无圈图G为森林。 注: (1)树与森林都是单图; (2) 树与森林都是偶图。 例1 画出所有不同构的6阶树。 解：按树中存在的最长路进行枚举。6阶树中能够存在的最长路最小值为2，最大值为5。树是图论中应用最为广泛的一类图。在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。在实际问题中，许多实际问题的图论模型就是树。 例2 族谱图与树 2、树的应用要把一个家族的繁衍情况简洁直观表达出来，用点表示家族中成员，成员x是成员y的儿女，把点x画在点y的下方，并连线。如此得到的图，是一颗树，称为根树。示意如下： 根树实际上，根树是许多问题的模型，如社会结构，计算机数据结构，数学中的公式结构，分类枚举表示等。 例3 道路的铺设与树假设要在某地建造4个工厂，拟修筑道路连接这4处。经勘探，其道路可按下图的无向边铺设。现在每条边的长度已经测出并标记在图的对应边上，如果我们要求铺设的道路总长度最短，这样既能节省费用 ，又能缩短工期 ，如何铺设？该问题归结于在图中求所谓的最小生成树问题。或称为赋权图中的最小连接问题。 例4 化学中的分子结构与树 例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为： h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h 例5 电网络中独立回路与图的生成树早在19世纪，图论还没有引起人们关注的时候，物理学 家克希荷夫就已经注意到电路中的独立回路与该电路中的所 谓生成树的关系。即：如果电路是(n, m)图，则独立回路的 个数为m-n+1.并且，生成树添上生成树外的G的一条边，就 可以得到一独立回路。 例6 通信网络中的组播树在单播模型中，数据包通过网络沿着单一路径从源主机向 目标主机传递，但在组播模型中，组播源向某一组地址传递数 据包，而这一地址却代表一个主机组。为了向所有接收者传 递数据，一般采用组播分布树描述IP组播在网络里经过的路 径。组播分布树有四种基本类型：泛洪法、有源树、有核树 和Steiner树 。总之，树在图论研究和图论应用上都是十分典型的特殊图。 定理1 每棵非平凡树至少有两片树叶。 证明 设P=v1v2…vk是非平凡树T中一条最长路，则v1与vk在T中的邻接点只能有一个，否则，要么推出P不是最长路，要么推出T中存在圈，这都是矛盾！即说明v1与v2是树叶。 定理2 图G是树当且仅当G中任意两点都被唯一的路连接。 证明：“必要性” 若不然，设P1与P2是连接u与v的两条不同的路。则 二、树的性质 由这两条路的全部或部分将构成一个圈，这与G是树相矛盾。 “充分性” 首先，因G的任意两点均由唯一路相连，所以G是连通的。 其次，若G中存在圈，则在圈中任取点u与v，可得到连接u与v的两条不同的路，与条件矛盾。 定理3 设T是(n, m)树，则： 证明：对n作数学归纳。 当n=1时，等式显然成立； 设n=k时等式成立。考虑n=k+1的树T。 由定理1 T中至少有两片树叶，设u是T中树叶，考虑 T1=T-u,则T1为k阶树，于是m(T1)=k-1, 得m(T)=k。 这就证明了定理3。 例7 设T为12条边的树，其顶点度为1,2,5。如果T恰有3个度为2的顶点，那么T有多少片树叶？ 解：设T有x片树叶。 由m=n-1得n=13. 于是由握手定理得： 得x=8 例8 设T为(n, m)树，T中有ni个度为i的点(1≦i≦k),且有：∑ni=n.证明： 证明：由m=n-1得： 又由握手定理得： 由上面两等式得： 推论1 具有k个分支的森林有n-k条边。 证明：设森林G的k个分支为Ti (1≦i≦k).对每个分支，使用定理3得： 所以： 定理4 每个n阶连通图的边数至少为n-1. 证明：如果n阶连通图没有一度顶点，那么由握手定理有： 如果G有一度顶点。对顶点数作数学归纳。 当n=1时，结论显然 设当n=k时，结论成立。 当n=k+1时，设u是G的一度顶点，则G-u为具有k个顶点的连通图。 若G-u有一度顶点，则由归纳假设，其边数至少k-1,于是G的边数至少有k条； 若G-u没有一度顶点，则由握手定理： 所以G-u至少有k+1条边。 而当G是树时，边数恰为n-1. 所以n阶连通图G至少有n-1条边。 所以，树也被称为最小连通图。 定理5 任意树T的两个不邻接顶点之间添加一条边后，可以得到唯一圈。 证明：设u与v是树T的任意两个不邻接顶点，由定理2知：有唯一路P连接u与v.于是P∪｛u v｝是一个圈。 显然，由P的唯一性也就