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第六章特徵值、特徵向量及對角線化 6.1 特徵值和特徵向量 6.2 對角線化 6.3 對稱矩陣的對角線化 6.1 特徵值和特徵向量 特徵值和特徵向量 特徵值及特徵向量的計算 馬可夫鏈 線性經濟模式 母體有穩定的年齡分布 設 A 為 n×n 階矩陣。如果在Rn中存在一個非零的向量x使得 Ax=λx (1) 則λ稱為A的特徵值(eigenvalue)。每個滿足(1)式的非零向量x稱為A對應於特徵值λ的特徵向量(eigenvector of A associated with the eigenvalue λ)。 求矩陣 A 之特徵值與特徵向量的步驟如下： 步驟1：求特徵多項式 f(λ)=det(λIn–A)的 根，這些根就是A的特徵值。 步驟2：對每一特徵值λ，求齊次方程組 (λIn–A)x=0的非明顯解。此解即為A 特徵值λ對應的特徵向量。 6.2 對角線化 相似矩陣 費氏數列 微分方程式(微積分必備) 動態系統(微積分必備) 若有一個非奇異矩陣 P 使得 則矩陣 B 相似(similar)於矩陣 A。 若 令 則 若矩陣A相似於一對角線矩陣，則稱矩陣 A 是可對角線化的(diagonalizable)。 在這種情況下，亦可稱 A 可以被對角線化(can be diagonalized)。 一個 n×n 階矩陣 A 是可對角線化的；若且唯若它有 n 個線性獨立的特徵向量。在這種情況下，A 相似於對角線矩陣D，且 ，D 的對角線元素為 A 的特徵值，其中矩陣 P 的行是由 A 的 n 個線性獨立的特徵向量所組成。 矩陣 A 對角線化的程序如下： 步驟1：形成A的特徵多項式 步驟2：求出 A 的特徵多項式的根。如果其根不 全為實數，則 A 不可以被對角線化。 若 請將 A 對角化 若 請將 A 對角化 6.3 對稱矩陣的對角線化 一個對稱矩陣的特徵多項式的所有根均為實數。 若A是一個對稱矩陣，則屬於A的不同特徵值的特徵向量是正交的。 若 A的不同特徵值的特徵向量是正交的 非奇異矩陣A稱為正交矩陣(orthogonal matrix)，如果 n×n 階矩陣 A 是正交的，若且唯若 A 的行(和列) 形成Rn中的規格型正交向量集合。 若 A 為對稱的 n×n 階矩陣，則存在一個正交矩陣 P 使得 P–1AP=D 是一對角線矩陣。A的特徵值在D的主對角線上。 利用正交矩陣P，將對稱矩陣 A 對角線化的程序如下。 步驟1：形成特徵多項式 。 步驟2：求出A的特徵多項式的根。這些根都是 實數。 步驟3：對每個重根數為kj的特徵值λj，求的 解空間(λj的特徵空間)的 kj個特徵向量所組成的基底。 步驟4：對每個特徵空間，利用Gram–Schmidtv 程序將步驟3所求得的基底轉換成規格 型正交基底。這些規格型正交基底全 體決定了A的n個線性獨立的特徵向量 所形成的規格型正交基底。 步驟5：設P為一矩陣，其行是步驟4所決定的n 個線性獨立的特徵向量。則P是一正交 矩陣且 是一對角 線矩，其對角線元素是A相對應於P中 各行的特徵值。 若 請將 A 對角化 令 一個 n×n 矩陣 A 為正交可對角線化若且唯若 A是對稱矩陣。 定理6.10 * * * 使用聲明 本 powerpoint 內容為林文豐老師所獨立完成，包含所有打字、編排、圖例皆為本人辛苦所製作。在教育的前提下，願供有興趣研讀此學門的人士一起參考。但內容有參雜多本書內容，請參考者勿任意延伸散發，以免衍生著作權之問題。並請一起為教育做奉獻。 定義 特徵值也可以稱為固有值(proper values)，特有值(characteristic values)，和潛伏值(latent values)；而特徵向量因此可稱為固有向量(proper　vectors)，等等。 例 2 設 因此 則 是 A 對應於特徵