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* * 第四章 解析函数的级数表示 §4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数 §4.1 复数项级数 1. 复数序列的极限 2. 复数项级数 定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题. [解] 1) 因发散 ;收敛, 故原级数发散. (1)发散; (2)绝对收敛; (3)收敛,条件收敛; (4)绝对收敛; (5)绝对收敛. §4.2 复变函数项级数 1.复变函数项级数 2.幂级数 (阿贝尔定理) 4. 幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设 这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用. 3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即 §4.3 泰勒级数利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数: 把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法 例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) ， 故有 因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+?. 同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出: [解] 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所以可在|z|1内展开成z的幂级数. 因为 例1 把函数展开成z的幂级数.
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