函数值域求法五种.doc

HYPERLINK /3520915/blog/1348379366 \t _blank 函数值域求法十五种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。??基本知识???????? 1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2.函数值域常见的求解思路：?? ??⑴ 划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。????⑵ 反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。??????⑶ 可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。???? ???? 特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。?? ??⑷ 可以用函数的单调性求值域。 ??⑸ 其他。 1. 直接观察法????对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域??例1. 求函数的值域。解：∵?????? ∴显然函数的值域是：2. 配方法??????????????配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。??例2. 求函数的值域。解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法??例3. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）∵?????? ∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵?????? ∴∴代入方程（1）解得：?????? 即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。??例4. 求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。????例5. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：???? 即∵????????∴即?????? 解得：故函数的值域为6. 函数单调性法??例6. 求函数的值域。解：令????????则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：??例7. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y0，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作 例8. 求函数的值域。解：因即故可令∴∵∴∴故所求函数的值域为??例9. 求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有∴当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为??例10. 求函数，的值域。解：令，则????????由 且可得：∴当时，，当时，故所求函数的值域为。??例11. 求函数的值域。解：由，可得故可令∵???????? ∴当时，当时，故所求函数的值域为：8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目??例12. 求函数的值域。解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(-8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|