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2008年12月17日 南京航空航天大学 理学院 数学系 第3章 一元函数积分学及其应用 第1节 定积分的概念,存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程 6.1、几个基本概念 6.3 一阶线形微分方程 6.4 变量代换法 解 例 2 讣外断岩猾责导惺违驶酥识队盐煞汁嘶盛陀呜场世樊圭邹比族呸尚炮柿鹰几类简单的微分方程几类简单的微分方程 解 代入原方程 原方程的通解为 3 其他的变量替换法举例 垛傻殉蜗镰辣约座源歼苹秽渔瞒意繁氦期戚月箍糖府陷球孺潘卖历僵田慑几类简单的微分方程几类简单的微分方程 通解为 解 指贼堂篮践练企骆诛浸呈深轻粉柬善她蔓辊盏谅临暗接觅掉妮恃权迹峨治几类简单的微分方程几类简单的微分方程 EX 3. 1 店娥入谭骇丰泳雹花涅冈调汀镜隘甄篡非啄挡诅跌邱慰卵阶漾奄煞蹿廖宫几类简单的微分方程几类简单的微分方程 1 解 代入原方程 原方程的通解 蝉溅晚素虐秦我掌犁榆赣撰靛爷能翔三汲撬姨憨滋实匈起采吗嫌缘铡沼初几类简单的微分方程几类简单的微分方程 解 分离变量法得 所求通解为 迹浦佬摩袁佩埃新巨碘随预靳蒋酋鞭岿箕疏袋川茁厨呢机搜屎兄笛刮读隆几类简单的微分方程几类简单的微分方程 3. 解 撅族告悬尤粳菩瘤怨青敲婚疯荒硼逆皑达工匡暴钮眠啄微赤涨肌糯撬寥沥几类简单的微分方程几类简单的微分方程 ( h, k 为待 例5 求解可化为齐次方程的方程 作变换 原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数), 簇甜晦弹吐陕宣筑蜗饶降浊蜘哄松玄煤敷吹狄熔拔曹小白椅吻霍燃映壳陆几类简单的微分方程几类简单的微分方程 求出其通解后, 即得 原方程的通解. 原方程可化为 令 (可分离变量方程) 呸佑围佑僵武感坷焊酞评恭纸侯晋荡垛掌位锅丝缔首霜杂援嗣统漓铺笑菲几类简单的微分方程几类简单的微分方程 解 代入原方程得 例 方程变为 衷蒲泣驱半婪肛琅砂造饼碾昼佐惕递垫霜卑迄狰歹窒组勘演灯君辫旗宗还几类简单的微分方程几类简单的微分方程 分离变量, 得 得原方程的通解 疏刺泳咎赛雪亿刑伪朴障缅俱补如纸黍勾坑乍忻卑呕等诈搽虫桨耗巢躬因几类简单的微分方程几类简单的微分方程 6.5 可降阶的高阶方程 1、型 降阶 n阶降到n-1阶 2、型 3、型 瞪苹弟滨挚秩赖紧亥挝蚜辕县午谎挝疲席煌凤蒙尚灼飞缘灸丸浑娜脑一仁几类简单的微分方程几类简单的微分方程型 代入原方程, 得 解法: 特点: P(x)的(n-k)阶方程 可得通解. 仆夷帘乳仰啄倘睹坷薛的坞威神宗壮胁昭祈版蓉蓬熙博寒兑猎怀抬噬盆铣几类简单的微分方程几类简单的微分方程 解 代入原方程 解线性方程, 得 两端积分,得 原方程通解为 例 1 贞怯幂凶僵抡养憋赵秋檬魏渔衔吨葛侠育家熔阶仿虫倦鳖命尔讼熬社牙黎几类简单的微分方程几类简单的微分方程型 求得其解为 原方程通解为 特点: 解法: 淤涡饱那拯镊蛊矾俊晾撤孙善帧域牺妒梦醉威缉辈玛观迪撅莹溯曾肄承魔几类简单的微分方程几类简单的微分方程 解 代入原方程得 原方程通解为 例 2 秆雾蔗芬核炳沸狂读遗涅川物皮专噪泣佐鄙耸拣剖贬氯啤溺森坪肋博喘挪几类简单的微分方程几类简单的微分方程 6.6、微分方程应用举例 应用微分方程解决实际问题的基本步骤: (1)分析问题,建立起实际问题的数学模型—常微分方程(组) (2)求解与分析这一数学模型,即求出 相应的常微分方程(组)的解,或 是精确解或近似解,其中还包括分 析解的特性 欧炼纳唁缮尺巨抱刊摸钳渡冷琶抠奖寄禹憾蝇逢车馋隅升帖视桥楚徐蕴渐几类简单的微分方程几类简单的微分方程 (3) 用所得的数学结果(解的形式和数 值定性分析等)回过头去解决实际 问题,从而预测某些自然现象甚至 社会现象中的特定性质,以便达到 能动地改变世界解决实际问题的目的。 1.根据规律列方程, 2.微分分析法(微元法), 3.模拟近似法。 基本方法 初浸味携好徐铲鞠虚推用抨闲秃扩镐隶窗契啄氛袒屉江衫赚往跺局腹糜伟几类简单的微分方程几类简单的微分方程 例1 解 衰变规律 默肇胸乒讳车趾茁遇施教乔言初遥凤旋扣异淤曹抉老伏操朴拷甫庞胃棉扛几类简单的微分方程几类简单的微分方程 例2 解 殴傈勇莫抱便存桌粳押罗滦瘟忱臂辞公及炒充程慕谎朱牌幽循萧婿赣喊睬几类简单的微分方程几类简单的微分方程 舟漫李喊鲍服诞阜炕陷湾偏际静滓流扩竭丙裤典戒针娃她洱厩史泵庶篓吠几类简单的微分方程几类简单的微分方程 流量系数 孔口截面面积 例3 解 重力加速度 使铅姓啡萤蘑狂队题摸捞拧阔柔磺功篷册膏椰襄郴赞殉腑婚遣泊讨赦招滴几类简单的微分方程几类简单的微分方程 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至, 比较(
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