利用导数求函的单调性.doc

利用导数求函数的单调性 例 讨论下列函数的单调性： 1．（且）； 2．（且）； 3．． 分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号，来确定函数在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性． 解： 1．函数定义域为R． 当时， ∴函数在上是增函数． 当时， ∴函数在上是减函数． 2．函数的定义域是或 ①若，则当时，， ∴，∴函数在上是增函数； 当时，，∴函数在上是减函数 ②若，则当时，， ∴函数在上是减函数； 当时，，∴函数在上是增函数 3．函数是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性 当时， 若，则，函数在（0，1）上是减函数； 若，则，函数在（0，1）上是增函数． 又函数是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当时，函数在（－1，1）上是减函数，当时，函数在（－1，1）上是增函数． 说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断． 分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力． 利用导数求函数的单调区间 例 求下列函数的单调区间： 1．； 2．； 3． 分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误． 解：1．函数的定义域为R， 令，得或． ∴函数的单调递增区间为（－1，0）和； 令，得或， ∴函数的单调递减区间为和（0，1）． 2．函数定义域为 令，得． ∴函数的递增区间为（0，1）； 令，得， ∴函数的单调递减区间为（1，2）． 3．函数定义域为 令，得或． ∴函数的单调递增区间为和； 令，得且， ∴函数的单调递减区间是和． 说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数的单调递增区间和递减区间分别写成 和 的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用． 求解析式并根据单调性确定参数 例 已知，且 1．设，求的解析式； 2．设，试问：是否存在实数，使在内为减函数，且在（－1，0）内是增函数． 分析：根据题设条件可以求出的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解． 解：1．由题意得， ， ∴ ∴ 2．． 若满足条件的存在，则 ∵函数在内是减函数，∴当时，， 即对于恒成立． ∴ ∴，解得． 又函数在（－1，0）上是增函数，∴当时， 即对于恒成立， ∴ ∴，解得． 故当时，在上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在． 说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用恒成立和恒成立，究其原因是对函数的思想方法理解不深． 利用导数比较大小 例 已知a、b为实数，且，其中e为自然对数的底，求证：． 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明，可以等价转化为证明，如果，则函数在上是增函数，如果，由增函数的定义可知，当时，有，即． 解：证法一： ，∴要证，只要证， 设，则． ，∴，且，∴ ∴函数在上是增函数． ∴，即， ∴ 证法二：要证，只要证， 即证，设，则， ∴函数在上是减函数． 又，即 说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特