含参数导数问点.doc

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求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。例1 设,函数,试讨论函数的单调性。求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。例2 已知是实数,函数(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)设为在区间上的最小值。()写出的表达式;()求的取值范围,使得。求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。例3已知函数,其中。(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,求函数的单调区间与极值。 例4(改编)设函数,其中,求函数的极值点。例5已知函数讨论函数的单调性;(II)设.如果对任意,,求的取值范围。例6已知函数()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)当=2时,求曲线=()在点(1,(1))处的切线方程;(Ⅱ)求()的单调区间。例7设是定义在区间上的函数,其导函数为。如果存在实数和函数,其中对任意的都有0,使得,则称函数具有性质。(1)设函数,其中为实数。(i)求证:函数具有性质; (ii)求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质。给定设为实数,,,且,若||||,求的取值范围。例1解:。考虑导函数是否有实根,从而需要对参数的取值进行讨论。(一)若,则。由于当时,无实根,而当时,有实根,因此,对参数分和两种情况讨论。当时,在上恒成立,所以函数在上为增函数;当时,。由,得,因为,所以。由,得;由,得。因此,当时,函数在上为减函数,在上为增函数。(二)若,则。由于当时,无实根,而当时,有实根,因此,对参数分和两种情况讨论。(1) 当时,在上恒成立,所以函数在上为减函数;(2) 当时,。由,得;由,得。因此,当时,函数在上为减函数,在上为增函数。例2解:(Ⅰ)函数的定义域为,,由得。考虑是否落在导函数的定义域内,需对参数的取值分及两种情况进行讨论。当时,则在上恒成立,所以的单调递增区间为。当时,由,得;由,得。因此,当时,的单调递减区间为,的单调递增区间为。(Ⅱ)()由第(Ⅰ)问的结论可知:当时,在上单调递增,从而在上单调递增,所以。当时,在上单调递减,在上单调递增,所以:当,即时,在上单调递减,在上单调递增,所以。当,即时,在上单调递减,所以。例3解:(Ⅰ)当时,曲线在点处的切线方程为。(Ⅱ)由于,所以。由,得。这两个实根都在定义域R内,但不知它们之间的大小。因此,需对参数的取值分和两种情况进行讨论。当时,则。易得在区间,内为减函数,在区间为增函数。故函数在处取得极小值;函数在处取得极大值。当时,则。易得在区间,内为增函数,在区间为减函数。故函数在处取得极小值;函数在处取得极大值。例4解:由题意可得的定义域为,,的分母在定义域上恒为正,方程是否有实根,需要对参数的取值进行讨论。(1)当,即时,方程无实根或只有唯一根,所以在上恒成立,则在上恒成立,所以函数在上单调递增,从而函数在上无极值点。(2)当,即时,方程,即有两个不相等的实根:。这两个根是否都在定义域内呢?又需要对参数的取值分情况作如下讨论:0递减极小值递增(ⅰ)当时,,所以。此时,与随的变化情况如下表:递增极大值递减极小值递增由此表可知:当时,有唯一极小值点。(ⅱ)当时,,所以。此时,与随的变化情况如下表:由此表可知:当时,有一个极大值点和一个极小值点。例5解:(Ⅰ)的定义域为(0,+∞). .当时,>0,故在(0,+∞)单调增加;当时,<0,故在(0,+∞)单调减少;当-1<<0时,令=0,解得.则当时,>0;时,<0.故在单调增加,在单调减少.(Ⅱ)不妨假设,而<-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而 ,等价于 , ①令,则①等价于在(0,+∞)单调减少,即 . 从而 故a的取值范围为(-∞,-2]. 例6解:(I)当时,, 由于,, 所以曲线在点处的切线方程为 即 (II),. 当时,. 所以,在区间上,;在区间上,. 故得单调递增区间是,单调递减区间是. 当时,由,得, 所以,在区间和上,;在区间上, 故得单调递增区间是和,单调递减区间是. 当时, 故得单调递增区间是.当时,,得,.所以没在区间和上,;在区间上, 故得单调递增区间是和,单调递减区间是例7(1)(i) ∵时,恒成立,∴函数具有性质;(ii)(方法一)设,与的符号相同。当时,,,故此时在区间上递增;当时,对于,有,所以此时在区间上递增;当时,图像开口向上,对称轴,而,对于,总有,,故此时在区间上递增;(方法二)当时,对于, 所以,故此时在区间上递增;当时,图像开口向上,对称轴,方程的两

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