复变函数习题答(第6章).doc

p269第六章习题(一) [ 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ] 7. 从?C e i z/√z dz出发，其中C是如图所示之周线(√z沿正实轴取正值)，证明： ?(0, +?) cos x/√x dx = ?(0, +?) sin x/√x dx = √(?/2)． 【解】| ?C(R) ei z/√z dz | ? ?C(R) | ei z |/R1/2 ds = ?[0, ?/2] | ei ? (cos? + i sin? )|/R1/2 · R d? = ?[0, ?/2] | e ? R sin? | R1/2 d? ? R1/2 ?[0, ?/2] e ? R sin? d?． 由sin? ? 2?/? (??[0, ?/2] )，故 R1/2?[0, ?/2] e ? R sin? d? ? R1/2 ?[0, ?/2] e ? (2R/ ?)? d? = (?/(2R1/2))(1 – e ? R ) ? ?/(2R1/2)． 所以，| ?C(R) ei z/√z dz | ? 0 (as R?+?)． 而由| ?C(r) ei z/√z dz | ? (?/(2r1/2))(1 – e ? r ) 知| ?C(r) ei z/√z dz | ? 0 (as r? 0+ )． 当r? 0+，R?+?时， ?[r, R] ei z/√z dz = ?[r, R] ei x/√x dx = ?[r, R] (cos x + i sin x)/√x dx ? ?(0, +?) cos x/√x dx + i?(0, +?) sin x/√x dx ． ?[r i, R i] ei z/√z dz = ?[r, R] ei (i y)/√(i y) i dy = ?[r, R] e? y e i ?/4/√y dy． = (1 + i )/√2 · ?[r, R] e? y /√y dy = 2(1 + i )/√2 · ?[√r, √R] e? u ^2 du ? (1 + i )√2 · ?(0, +?) e? u ^2 du = (1 + i )√2 · √?/2 = (1 + i )√(?/2)． 由Cauchy积分定理，?C ei z/√z dz = 0，故其极限也为0， 所以，?(0, +?) cos x/√x dx + i?(0, +?) sin x/√x dx = (1 + i )√(?/2)， 即?(0, +?) cos x/√x dx = ?(0, +?) sin x/√x dx = √(?/2)． 8. 从?C √z ln z /(1 + z)2 dz出发，其中C是如图所示之周线，证明： ?(0, +?) √x ln x /(1 + x)2 dx = ?，?(0, +?) √x /(1 + x)2 dx = ?/2． 【解】在割去原点及正实轴的z平面上，√z，ln z都能分出单值解析分支，√z取在正实轴的上岸取正值的那个分支，ln z取在正实轴的上岸取实数值的那个分支．记f(z) = √z ln z /(1 + z)2 dz．f(z)的有限奇点只有? 1，且? 1是f(z)的2阶极点． Res[√z ln z /(1 + z)2; ? 1] = limz ? ? 1 ((1 + z)2 · f(z))’ = limz ? ? 1 (√z ln z)’ = limz ? ? 1 (((1/2) ln z + 1 )√z/z) = ((1/2) ln (? 1) + 1 )√(? 1)/(? 1) = ? ((1/2) ?i + 1 )i = (1/2) ? ? i． 当r 1 R时，?C √z ln z /(1 + z)2 dz = ?C(r) + ?C(R) + ?L(1) + ?L(2) = 2?i Res[√z ln z /(1 + z)2; ?1] = 2? + ?2 i． ?L(1) √z ln z /(1 + z)2 dz = ?(r, R) √x ln x /(1 + x)2 dx ? ?(0, +?) √x ln x /(1 + x)2 dx (当r? 0+，R?+?时) ?L(2) √z ln z /(1 + z)2 dz = ?(R, r) (?√x )(ln x + 2?i)/(1 + x)2 dx = ?(r, R) (√x ln x)/(1 + x)2 dx + 2?i?(r, R)√x /(1 + x)2 dx ? ?(0, +?) √x ln x /(1 + x)2 dx + 2?i?(0, +?) √x /(1 + x)2 dx (当r? 0+，R?+?时)． 因为z · √z ln z /(1 + z)2 ? 0