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如何求数列通项公式 一、累加法（也叫逐差求和法）：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）. 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以数列的通项公式为。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而利用逐差求和法求得数列的通项公式。 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为， 例3 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：两边除以，得，则，故 因此，则 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而利用逐差求和法求得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。 二、累乘法（也叫逐商求积法）:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积). 例4 已知,,求数列通项公式. 【解析】： ,,且当时，满足，. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为. 例5 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 例6已知数列满足，求的通项公式。 解：因为 ① 所以 ②用②式－①式得 则 故 由，，则，又知，则，代入（3）得。所以，的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。 三、构造新数列: 将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列. 例7 已知数列中, ,,求的通项公式. 【解析】:利用,求得,是首项为 ,公比为2的等比数列,即, 反思:.构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列. 四、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。 例8 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？ 【解析】： ， ， ，又， . 反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 例9 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。 六 倒数变换：将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换. 例10 已知数列中, ,,求数列的通项公式. 【解析】:将取倒数得: ,,是以为首项,公差为2的等差数列. ,. 反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了. 四、待定系数法 例7 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设④ 将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤ 由及⑤式得 ，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 例8 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ⑥ 将代入⑥式，得 整理得。 令，则，代入⑥式得 ⑦ 由及⑦式， 得，则， 故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。 例9 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ⑧ 将代入⑧式，得，则 等式两边消去，得， 解方程组，则，代入⑧式，得 ⑨ 由及⑨式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。 评注：解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 跟踪训练1.已知,,求数列通项公式. 跟踪训练2.已知数列满足,且.则的通项公式是. 跟踪训练3.已知数列中, ,求数列的通项公式. 跟踪训练4.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列. 跟踪训练5.已知数列中, ,,求数列的通项公式. 跟踪训练6.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式. 答案 跟踪训练1.解：由已知,= . 跟踪训练2.解：时, , 作差得: ,,,,, 跟踪训练3.. 跟踪训练4.证明：由已知可得：，当时，时， 满足上式. 的通项公式,时为常数,所以为等比数列. 跟踪训练5. 跟踪训练6.解:由已知可求,,,猜测.(用数学归纳法证明). ,,,. 五、对数变换法 例10 已知数列满足，，求数列的通项公