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帮你归纳总结(五):导数中的求参数取值范围问题常见基本题型: (1)已知函数单调性,求参数的取值范围,如已知函数增区间,则在此区间上 导函数,如已知函数减区间,则在此区间上导函数。 (2)已知不等式恒成立,求参数的取值范围问题,可转化为求函数的最值问题。例1.已知R,函数.(R,e为自然对数的底数) (1)若函数内单调递减,求a的取值范围;(2)函数是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围;若不是,请说明 理由. 解: (1) =. 上单调递减, 则 对 都成立, 对都成立. 令,则 , . (2)①若函数在R上单调递减,则 对R 都成立 即 对R都成立. 对R都成立 令, 图象开口向上 不可能对R都成立 ②若函数在R上单调递减,则 对R 都成立, 即 对R都成立, 对R都成立.故函数不可能在R上单调递增.综上可知,函数不可能是R上的单调函数 例2:已知函数,若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,对于任意,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围; 解: 令得, 故两个根一正一负,即有且只有一个正根 函数在区间上总不是单调函数 在上有且只有实数根 故, 而单调减, ,综合得 例3.已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)设,若对任意,,不等式 恒成立,求实数的取值范围. 解:(I)的定义域是 由及 得;由及得, 故函数的单调递增区间是;单调递减区间是 (II)若对任意,,不等式恒成立, 问题等价于, 由(I)可知,在上,是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,故也是最小值点,所以; 当时,;当时,;当时,; 问题等价于 或 或 解得 或 或 即,所以实数的取值范围是。 例4.设函数, (1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围; (2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的 取值范围.解:(1)由a=0,f(x)≥h(x), 可得-mlnx≥-x,x∈(1,+∞),即m≤eq \f(x,lnx).记φ(x)=eq \f(x,lnx),则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min.求得φ′(x)=eq \f(lnx-1,ln2x)当x∈(1,e),φ′(x)<0;当x∈(e,+∞)时,φ′(x)>0.故φ(x)在x=e处取得极小值,也是最小值,即φ(x)min=φ(e)=e,故m≤e.函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a, 在[1,3]上恰有两个相异实根. 令g(x)=x-2ln,则g′(x)<1-eq \f(2,x).当x∈[1,2)时,g′(x)<0;当x∈(2,3]时,g′(x)>0.∴g(x)在(1,2)上是单调递减函数,在(2,3]上是单调递增函数.故g(x)min=g(2)=2-2ln2.又g(1)=1,g(3)=3-2ln3,∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3).故a的取值范围是(2-ln2,3-2ln3]. 二、针对性练习 1.已知函数若函数在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围。 解:由,得. 又函数为[1,4]上的单调减函数。 则在[1,4]上恒成立,. 所以不等式在[1,4]上恒成立. 即在[1,4]上恒成立。 设,显然在[1,4]上为减函数, 所以的最小值为 的取值范围是 2.已知函数 (1)若存在,使成立,求的取值范围; (2)当时,恒成立,求的取值范围. 解:(1)即 令 时,时, 在上减,在上增. 又时,的最大值在区间端点处取到. , 在上最大值为 故的取值范围是, (3)由已知得时,恒成立,设由(2)知当且仅当时等号成立,故,从而当即时,为增函数,又于是当时,即,时符合题意. 由可
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