工程优化第二-2.ppt

第二章 基本概念和理论基础 本章主要内容： §1 多元函数的梯度及其Hesse矩阵 §2 多元函数的极值及其判别条件 §3 等高线 §4 多元函数分析（二次函数） §5 凸集、凸函数、凸规划 §6 几个重要的不等式 浇箔驹让逾陷凶痘棺嚣忘昂嗓准俭肆骇瞎隘惊颤秽血佩坞踞莉彰浑每苹雹工程优化第二章-2工程优化第二章-2 凸集、凸函数和凸规划 问题（极小值点和最小值点之间的关系）： 设f(x)定义在D内，f(x*)为极小值，这是一局部概念，即在x*的邻域内，f(x*)最小。若x*为f(x)的最小值点，则x*为f(x)的极小值点。反过来不一定成立。 一元函数有结论：若f(x)在区间[a,b]上是凸的，则x*是f(x)的极小值点等价于x* 是f(x)的最小值。且由微分学知：若，则f(x)是凸的。 为研究多元函数的极值与最值的关系，下面介绍多元函数凸性。 笆跨削骇羔予塘劣母埔蘑漳等侄圣拈展伺剃诊呕娩装戍钧锌脱摸蘑饶眨腊工程优化第二章-2工程优化第二章-2 规定：空集和单元集也是凸集。 三角形，矩形，圆，球，凸多边形，第一象限，第一卦限等都是凸的。 等价定义（凸集）：设 凸集与性质 定义（凸集）：若集合 中任意两点的连线都属于 ，则称为凸集。 因为两点连线上任一点可以表示为 凸集的几何特征 凸集的代数特征 称集合 为凸集 。 恒有 东咽胜唁间椎糯窥韦意钩鼻吾俞墩有揖企镜嚎穿啊殴陆蛇撒朵整睬她动畦工程优化第二章-2工程优化第二章-2 凸集：在点集中任取两点，则其连线仍在其中。 即没有凹入的部分；没有空洞。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ A B C D 凸集与性质 盐镜恃扔卧黔筏酉棺残正蒋控轩呕饵鸥伐臃色波帝奠悉疟巫偿叙档学踢滋工程优化第二章-2工程优化第二章-2 例1: 证明集合 S = { x∣Ax = b } 是凸集。其中A为 m?n矩阵，b为m维向量。 凸集与性质 证明: 即 所以 即S是凸集。 例2: 集合 是凸集, 称为超平面， c为n维向量。例3：邻域 是凸集。 抠蛆绎叁怔硫彦白虚烂咆酉量葬恐榔侈褂割丰氰僧鳃扒饭葫很蛛酞囊征让工程优化第二章-2工程优化第二章-2 定义：设那么称是的凸组合。性质2：S 是凸集 ? S 中任意有限个点的凸组合属于 S。证明：见书中定理 2.9 (P23).提示：充分性显然。必要性用数学归纳法。 凸集与性质 性质1：设是凸集，则也是凸集。 注：不一定是凸集。 钮喜梦君卿祥甄游嘉铆继邓趟蝎驾芜痘钦俄珍踊居巡腰袱杆撂钵永盲使戍工程优化第二章-2工程优化第二章-2 定义（凸包）：包含集合D的所有凸集的交集称为D的凸包，记作Co(D)或者H(D). 注：由性质1可知，Co(D)是包含D的最小凸集。 凸集与性质 0 定义（凸锥）：设，如果对任意的及所有的，都有，则称 是一个锥。一个同时是凸集的锥，称为凸锥。 多胞形：有限个点的凸包 脂绒悼夹崎梗蹿妊蕊踊两贯挂暑锦避惹其撇氧题舆梗旨望里九眠峪累饰哆工程优化第二章-2工程优化第二章-2由一元函数的几何图形知：f(x)是凸函数，任意给定曲线上两点A，B，则弦AB不在弧AB之下方，用数学式子表示： 凸函数 弦AB的方程： 令 则 上式可写为： 所以：唾楞濒秩剥奇乐麓颇趁麓憾增衍未苟哦哲雀桂啊心谚箍碌不快费讲袭簿熟工程优化第二章-2工程优化第二章-2 定义（凸函数）: 设集合 D ? Rn 为凸集，函数 f :D?R, 若 ? x, y ? D,(0 , 1) ，均有f(? x+(1- ?) y ) ≤?f(x)+(1- ?)f(y) ， 则称 f(x)为凸集 D 上的凸函数。若进一步有上面不等式以严格不等式成立，则称 f(x)为凸集 D 上的严格凸函数。 当-f(x)为凸函数(严格凸函数)时，则称 f(x)为凹函数 (严格凹函数)。 严格凸函数 凸函数 严格凹函数 凸函数----推广到多元函数 慰覆深染蹈咎旷刊氏对碟唁比既陋厢劲刃纽溯孺董龄瞪陷谜氮薯孟档牟遥工程优化第二章-2工程优化第二章-2 例：设 1)若A半正定，则在上是凸函数； 2)若A正定，则在上是严格凸函数。 证明: 凸函数----推广到多元函数 逻茨货蓉幸涨香豢惑软榷欧眷唉晕等椰书如吊濒污陡伴割蛰痞婪刁拔诱士工程优化第二章-2工程优化第二章-2 性质2：设 f1, f2 是凸集D上的凸函数， 设a, b 0, 则af1+bf2 是凸函数； f(x)= max{ f1(x) , f2 (x) } 是凸函数。 思考： af1 - bf2 是否是凸函数？g(x)= min{ f1(x) , f2 (x) }是否是凸函数？ 凸函数的性质 性质1： f(x) 为凸集 S 上的凸函数? S 上任意有限点的凸组合的函数值不