1、定积分的背景__面积和路程问题_分析.ppt

* * 第四章 定积分 定积分的背景——面积和路程问题我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面图形的面积；物理中，我们知道匀速直线运动 的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面 “曲边图形 ” 的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的问题。如何解决这些问题呢？现有知识无法解决，为此我们需要另寻方法。接下来我们要学习的定积分，就可以帮助我们解 决这些问题。 引入 x o y图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样的平面图形称为曲边梯形，如何求这个面积呢？ a b 曲边梯形定义：我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲 线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。 问题1 图中阴影部分由抛物线，直线及 x 轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的 面积 S 。 x o y 1将区间[0，1]平均分成许多小区间，把曲边梯形拆 分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”， 即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个 小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边 梯形面积的近似值。可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形 的面积。可通过以下几个步骤具体实施：（1）分割；（2）近似代替(过剩和不足估计值)；（3）逼近。 x o y 1 (1)将区间[0，1]平均分成 5 份，如图所示。图 (1) 中，所有小矩形面积之和显然大于所 求曲边梯形的面积，我们称为 S 的过剩估计值， 则有 x o y 1 (2)图 (2) 中，所有小矩形面积之和显然小于所 求曲边梯形的面积，我们称为 S 的不足估计值， 则有 x o y 1 (3)我们可以用或 近似表示 S ，但是都存在 误差，二者之差为，但是无论是用 还 是 来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2， 如图(3)所示。 x o y 1 (4)为减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则 所求面积的过剩估计值为 不足估计值为二者的差值为，此时，无 论用 还是 来表示 S ，误差都不超过 0.1 。区间分的越细，误差越小。当所 分隔的区间长度趋于 0 ，过剩估计值 和不足估计值都趋于曲边梯形面积。问题2 司机猛踩刹车，汽车滑行 5s 后停下，此过 程中汽车的速度 v 是时间 t 的函数： 请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s 。分析： 此时误差不超过：将滑行的 5s 平分成 5 份。用， ， ，近似代替汽车在0~1、1~2、2~3、3~4、4~5s内的平均速度，则滑行距离的过剩估计值为 ：用， ， ， ， 近似代替汽车在0~1、1~2、2~3、3~4、4~5s内的平均速度，则滑行距离的不足估计值为 ：滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程。 若将 5 秒平分成10份，则得到过剩估计值为 ： 不足估计值为 ： 此时，误差都不超过 概括前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求 曲边梯形的面积的问题，它们的步骤： 分割区间 过剩估计值 不足估计值 逼近所求面积 所分区间长度→ 0 估计值→所求值 动手做一做 求直线 x=0,x=1,y=0与曲线 y=x2 所围成的曲边梯形的面积。 1 ＊ 曲边梯形的定义： 分割区间 过剩估计值 不足估计值 逼近所求面积 ＊ 求曲边梯形面积的步骤：我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲 线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。 小结 *