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《线性代数》 主讲教师:兰星 二、分块矩阵的数乘 若l 是数,且 , 则有 形式上看成是普通的数乘运算! 三、分块矩阵的乘法 一般地,设 A为m?l 矩阵,B为l ?n矩阵 ,把 A、B 分块如下: 其中 按行分块以及按列分块 m?n矩阵A 有m行n列, 若将第j 列记作 则 若将第i 行记作 于是设A为m?s 矩阵,B 为s ?n矩阵,若把A 按行分块,把B 按列块,则 四、分块矩阵的转置 分块矩阵不仅形式上进行转置, 而且每一个子块也进行转置. 五、分块对角矩阵与分块三角形矩阵 分块对角矩阵的特点: A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 对角线上的子块都是方阵, 定义1:形如 的分块矩阵,称为分块对角 矩阵或准对角矩阵. 分块对角矩阵的性质 例如: 性质:设 是分块对角矩阵,则有 定义2:形如 的分块矩阵,称为分块上 三角行矩阵.(其中 均为方阵) 定义3:形如 的分块矩阵,称为分块下 三角行矩阵.(其中 均为方阵) 分块三角形角矩阵的性质 矩阵与数相仿,有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和数一样有逆运算呢? 这就是本节所要讨论的问题. 这一节所讨论的矩阵,如不特别说明,所指的都是 n 阶方阵. 从乘法的角度来看,n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在数中的地位. 一个数 a ≠ 0的倒数 a-1可以用等式 a a-1 = 1 来刻划. 类似地,我们引入 对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A,都有 §2.4 逆矩阵 定义1:设A为 n 阶方阵 ,如果存在 n 阶方阵 B,使得 则称n 阶方阵A 为可逆矩阵.(其中 E 是 n 阶单位矩阵) 根据矩阵的乘法法则,只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A,适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的(如果有的话). 定义2: 如果矩阵 B 满足上述等式,那么 B 就称为 A 的逆矩阵, 记作 A-1 ,即A-1 =B. 下面要解决的问题是:(1)在什么条件下,方阵 A 是可逆的?(2)如果 A 可逆,怎样求 A-1 ? 定义3:行列式 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵 称为矩阵 A 的伴随矩阵.记作 . 性质 证明 性质: ,其中 是 的伴随矩阵 定理:方阵 可逆的充分必要条件是 ,并且 当A可逆时,有 推论:设 n 阶方阵A、B 满足: 那么A、B都是可逆矩阵, 并且它们互为逆矩阵,即 方阵A可逆 此时,称矩阵A为非奇异矩阵 例:求二阶矩阵 的逆矩阵. (其中 ) 解 且 例:求3阶方阵 的逆矩阵. 解:| A | = 1, 则 性质: 如果 n 阶方阵A、B可逆,那么 、 、 与AB也可逆,且 分块对角矩阵的逆 设 是分块对角矩阵,且 均为可逆矩阵,则 也可逆,且 例 设矩阵A,B,C和X分别满足下列等式,求矩阵X: (1)AX=B; (2)XA=C. 解 其中 则有 (1)用A-1左乘等式AX=B两边,得到 (2)用A-1右乘等式XA=C两边,得到 (1)交换 的某两行(列),记作 ; (2)以非零常数 k 乘以 的某一行(列)的所有元素,记 作 ; (3)将 的某一行(列)加上另一行(列)的 k 倍,记作 . 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换. 定义1:设矩阵 ,则下列三种变换称为矩阵的初等 行(列)变换: §2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵 一、矩阵的初等变换与初等
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