行列式矩阵.ppt

《线性代数》 主讲教师：兰星 二、分块矩阵的数乘 若l 是数，且 ， 则有 形式上看成是普通的数乘运算！ 三、分块矩阵的乘法 一般地，设 A为m?l 矩阵，B为l ?n矩阵 ，把 A、B 分块如下： 其中 按行分块以及按列分块 m?n矩阵A 有m行n列， 若将第j 列记作 则 若将第i 行记作 于是设A为m?s 矩阵，B 为s ?n矩阵，若把A 按行分块，把B 按列块，则 四、分块矩阵的转置 分块矩阵不仅形式上进行转置， 而且每一个子块也进行转置． 五、分块对角矩阵与分块三角形矩阵 分块对角矩阵的特点： A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， 其余子块都为零矩阵， 对角线上的子块都是方阵， 定义1：形如 的分块矩阵，称为分块对角 矩阵或准对角矩阵． 分块对角矩阵的性质 例如： 性质：设 是分块对角矩阵，则有 定义2：形如 的分块矩阵，称为分块上 三角行矩阵．（其中 均为方阵） 定义3：形如 的分块矩阵，称为分块下 三角行矩阵．（其中 均为方阵） 分块三角形角矩阵的性质 矩阵与数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和数一样有逆运算呢？ 这就是本节所要讨论的问题. 这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵. 从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在数中的地位． 一个数 a ≠ 0的倒数 a－1可以用等式 a a－1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入 对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有 §2.4 逆矩阵 定义1：设A为 n 阶方阵 ，如果存在 n 阶方阵 B，使得 则称n 阶方阵A 为可逆矩阵.（其中 E 是 n 阶单位矩阵） 根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）. 定义2： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1 ，即A－1 =B. 下面要解决的问题是：（1）在什么条件下，方阵 A 是可逆的？（2）如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？ 定义3：行列式 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵 称为矩阵 A 的伴随矩阵.记作 . 性质 证明 性质： ，其中 是 的伴随矩阵 定理：方阵 可逆的充分必要条件是 ，并且 当A可逆时，有 推论：设 n 阶方阵A、B 满足： 那么A、B都是可逆矩阵， 并且它们互为逆矩阵，即 方阵A可逆 此时，称矩阵A为非奇异矩阵 例：求二阶矩阵 的逆矩阵. （其中 ） 解 且 例：求3阶方阵 的逆矩阵. 解：| A | = 1， 则 性质： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 与AB也可逆，且 分块对角矩阵的逆 设 是分块对角矩阵，且 均为可逆矩阵，则 也可逆，且 例 设矩阵A,B,C和X分别满足下列等式，求矩阵X： （1）AX=B; （2）XA=C. 解 其中 则有 （1)用A-1左乘等式AX=B两边，得到 （2)用A-1右乘等式XA=C两边，得到 （1）交换 的某两行（列），记作 ； （2）以非零常数 k 乘以 的某一行（列）的所有元素，记 作 ； （3）将 的某一行（列）加上另一行（列）的 k 倍，记作 . 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换． 定义1：设矩阵 ，则下列三种变换称为矩阵的初等 行（列）变换： §2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵 一、矩阵的初等变换与初等