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计算方法 抛物线求积公式几何意义（单击播放） 计算方法 3. n=4时的Cotes求积公式 按Newton-Cotes系数公式可以计算出 由此可得Cotes求积公式： a b 计算方法 余项公式为： 计算方法 牛顿-科特斯求积公式几何意义（单击播放） 计算方法 x 0 0.25 0.5 0.75 1 f(x) 1 0.9896158 0.958851 0.9088516 0.8414709 例：分别用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算 准确值为：0.9460831 解： 利用梯形公式可得： 计算方法 x 0 0.25 0.5 0.75 1 f(x) 1 0.9896158 0.958851 0.9088516 0.8414709 利用辛普生公式得： 利用柯特斯公式得： 计算方法 例： 设积分区间为[0, 2]，取 时,分别用梯形和辛普森公式 计算其积分结果并与准确值进行比较。 解:梯形公式和辛普森的计算结果与准确值比 较如下表所示 计算方法 f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式计算值 2 2 4 8 16 8.389 辛卜生公式计算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421 从表中可以看出,当f(x)是 时,辛普森公式比梯形公式更精确。 计算方法 例 : 用辛普森公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数) 解: 辛普森公式 计算方法 由辛普森公式余项 知其误差为 由于 计算方法 柯特斯公式 误差为 该定积分的准确值 计算方法 这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n≥2时，公式却是精确的，这是由于辛普森公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。 计算方法 例： 分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯 公式计算定积分 的近似值 (计算结果取5位有效数字)。 (1) 用梯形公式计算 (2) 用辛普森公式 计算方法 (3) 用柯特斯公式计算，系数为 计算方法 积分的准确值为 可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 计算方法 §7.1 牛顿-科特斯求积公式 我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式 计算方法 求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式 无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况： 计算方法 ?(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如： Newton-Leibnitz公式就无能为力了。 计算方法 (2) 被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 但表达式太复杂，例如函数 并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分后其原函数F(x)为： 计算方法 (3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。 对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。 计算方法 由定积分定义 计算方法 计算方法 定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合 求积系数 求积节点 注：求积系数与被积函数f(x)无关，与积分区间 和积分节点有关，称之为机械求积公式。 称R(f)为上述求积公式的截断误差。 计算方法 两个问题： 1、系数Ai如何选取，即选取原则； 2、若节点可以自由选取，取什么点好？ 计算方法 定义 　　　 若某个求积公式对任意 k ? n 阶的多项式均能准确成立，且至少对某个 n+1 阶多项式不成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。 一 代数精度 计算方法 的代数精度。 可以