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1 根据质心运动微分方程，得 [例3] 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在 绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重 不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。 求：? 圆柱B下落时质心的加速度。 　　? 若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么 条件下圆柱B的质心将上升。 选圆柱B为研究对象 ? ? 运动学关系： ? ? 解：选圆柱A为研究对象 由?、?式得： 代入?、?式得： 由动量矩定理： ? 补充运动学关系式： 代入?式，得 当M 2Pr 时， ，圆柱B的质心将上升。 再取系统为研究对象 　　研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。 　　应用动量矩定理列方程时, 要特别注意正负号的规定的一致性。 例4 AB杆的质量为m1=24kg，重心离A点8cm，对于A轴的回转半径 cm；轮子的质量为m2=16kg，半径为r=6cm，对于轮心的回转半径为 cm。除轮子与地面有足够大的摩擦力外，其余各处的摩擦力皆略去不计。试求轮子在图示位置无初速地开始运动时的角加速度。 解：取AB杆为研究对象 由刚体定轴转动微分方程 （1） 再取轮子为研究对象，列出轮子平面运动微分方程 应用运动学关系，补充二个方程 由加速度合成定理 （4） （3） （2） 即 轴投影 联立可解得 因在图示位置，系统初速度等于零。 故 ，得到 （5） 所以 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的　　　，以供参考。 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。 ⑴ 定理 3. 平行移轴定理　 对于均质刚体，　仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。 　⑵ 证明 设质量为m的刚体，质心为C， 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。 　　当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 4．计算转动惯量的组合法 例如，对于例1中均质细杆对 z 轴的转动惯量为 例12-9：均质细直杆，已知 . 求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。 要求记住三个转动惯量 （1）??? 均质圆盘对盘心轴的 转动惯量 （2）??? 均质细直杆对一端的 转动惯量 （3）??? 均质细直杆对中心轴 的转动惯量 则 对一端的 轴，有 解： 解： 4．组合法 求： . 例10： 已知杆长为 质量为 ，圆盘半径为 质量为 . ?解： 其中 由 ，得 例12-11：已知： ， 求 . 解： [例2] 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 IO 。 [例3] 提升装置中，轮A、B的重量 分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求 物体C上升的加速度。 [例3] 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求 物体C上升的加速度。 ②取轮B连同物体C为研究对象； 受力如图；轮B速度为w2 ，角加速度为e2 ；物体C速度为v ，加速度 为a ；由质点系的动量矩定理则有： 解: ①取轮A为研究对象；受力如 图；轮A角加速度为 e1 ，由刚体定轴 转动微分方程则有： ③运动学补充方程： 化简(1) 得： 化简(2) 得： 质点系的动量矩的计算 如果质点系的运动是比较复杂的一般运动，则按以下方法计算。 按定义计算； §13-5　质点系相对于质心的动量矩定理 　　　　 刚体平面运动微分方程 质点系相对定参考系Oxyz作一般运动，C为质点系的质心，对任一质点Mi，有 则 即 其中 为质点系相对质心C的动量矩。 质点系对任意定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中