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图像压缩之小波方法 Wavelet Fourier变换 以为函数的Fourier变换定义为 逆变换为： CWT及其反变换 母小波ψ(t)是满足下列特性的实或复的连续函数： 函数均值为0 属于L2 相容性条件 一旦选择了小波ψ(t)，函数f(t)的连续小波变换： CWT及其反变换. 一般，定义函数： 其中b是平移参数 a是尺度（或伸缩）参数 逆CWT定义为： 两个小波 Morlet小波 墨西哥草帽小波 Haar变换 Haar变换基于Haar函数hk(x), (0≤x≤1, k=0, 1, …, N-1, N=2n) 设k=2p+q-1, 其中0≤p≤n-1当p=0时，q=0或1当p0时，1≤q≤2p, 定义: h0(x) = 1/Sqrt[N]hk(x) = hp,q(x) = 1/Sqrt[N] *{ Haar变换 Haar变换将函数f(x)分解为以下的无穷和 一个例子 设有8个整数{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 首先计算4个平均值和4个差值(低分辨率和细节)：{(1+2)/2, (3+4)/2, (5+6)/2, (7+8)/2, (1-2)/2, (3-4)/2, (5-6)/2, (7-8)/2} = {3/2, 7/2, 11/2, 15/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2} 对4个平均值重复上述过程，分成两个平均值和两个差值：{10/4, 26/4, -4/4, -4/4, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2} 对前两个分量继续进行：{36/8, -16/8, -4/4, -4/4, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2} 这些过程把序列分解为不同分辨率的表示，由于差值较小或可以忽略，就有可能进行有效的压缩。 Haar变换的应用 把它推广到二维图像：标准分解和金字塔分解 标准分解 每行进行小波变换，然后对每列进行 金字塔分解 在行列之间交替进行小波变换 滤波器组 滤波器是用滤波器系数h(0), h(1), h(2), …定义的线性算子(x输入,y输出)：y(n) = ∑h(k)x(n-k) = h*x (卷积) 滤波器组的思想是：由一个低通滤波器H0和一个高通滤波器H1组成一个滤波器组，低通滤波器利用卷积去除输入信号x中的高频分量，而让低频通过，高通滤波器的作用正好相反，它们共同将输入分成频带。 滤波器组系数 给定一组滤波器，有N抽头的前向和反向滤波器各两个：H0、H1和F0、F1(N是偶数)，其系数记为h0, h1,f0,f1。这些量必须满足的一组条件是： 归一化：矢量h0是归一化的，即长度为1 正交性：1≤i≤N/2，h0由2i个元素形成的矢量与同一个h0后2i个元素形成的矢量正交 矢量f0是h0的逆 矢量h1与f0除了奇数下标的元素相反外都相同 矢量h0与f1除了偶数下标的元素相反外都相同 DWT 用矩阵乘法描述离散小波变换，以Daubechies D4为例： 满足条件： c02+c12+c22+c32=1 c2c0+c3c1=0 其它常用小波的滤波器系数 Beylkin Coifman 1-tap Coifman 2-tap … Coifman 5-tap Daubechies 4-tap … Daubechies 20-tap Symmlet 4-tap … Symmlet 10-tap Vidyanathan 图像分解方法 Laplacian金字塔 线 梅花状 金字塔 标准法 均匀分解 自适应小波包分解 JPEG 2000 JPEG在图像压缩领域有着广泛的应用，但不完善。对一个8×8像素块进行DCT有时会导致重建图像中出现块效应。 JPEG 2000是基于小波技术的新的图像压缩编码系统 What is JPEG 2000? From JPEG 2000 is the latest series of standards from the JPEG committee. The original standard for digital images (IS 10918-1, popularly referred to as JPEG) was developed 15 years ago, and with the major increase in computer technology since them, and lots of research, it was felt to be time for a new standard capable of handling many more aspects than simply making the digital image