2016届高考数学一轮复习 7.11轨迹方程的求法练习 理.doc

第十一节　轨迹方程的求法 一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程这条曲线叫做方程的曲线．二、求曲线的(轨迹)方程求曲线的轨求符合某种条件的动点的轨迹方程其实质就是利用题设中的几何条件用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力．它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程常用待定系数法如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外通常设法利用已知轨迹的定义解题化归为求已知轨迹类型的轨迹方程．因此在求动点轨迹方程(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤．建系设点：建立适当的直角坐标系设曲线上任一点坐标M(x)；列几何等式：写出适合条件的点的集合P＝(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；化为代数等式：用坐标代换几何等式列出方程；化简：把方程f(x)＝0化成最简形式；证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程．除个别情况外化简过程都如有特殊情况可适当加以说明步骤②也可省略．(2)求曲线轨迹方程应注意的问题．要注意一些隐含条件若轨迹是曲线的一部分应对方程注明x的取值范围或同时注明x的取值范围保证轨迹的纯粹性；若轨迹有不同情况应分别讨论以保证它的完整性；曲线的轨迹和曲线方程是有区别的求曲线的轨迹不仅要求出方程而且要指明曲线的位置、类型． 1．如果命题“坐标满足方程F(x)＝0的点都在曲线C上”不正确．那么以下正确的命题是() A．曲线C上的点的坐标都满足方程F(x)＝0坐标满足方程F(x)＝0的点有些在C上有些不在C上坐标满足方程F(x)＝0的点都不在曲线C上一定有不在曲线C上的点并且其坐标满足方程F(x)＝0分析：由曲线与方程的概念判定．解析：若方程为y＝|x|曲线C为一、三象限角平分线显然曲线C上的点的坐标不都满足方程故错误；同理可推出坐标满足方程的点都不在曲线C上是错误的故错误；若方程为y＝x＋1曲线C为一、三象限角平分线显然满足方程的点都不在曲线C上故错误；因此只有正确．已知点A(－2)，B(3，0)，动点P(x)满足＝则点P的轨迹是() A．圆　　　　　　　．椭圆抛物线 ．双曲线解析：设动点P的坐标为(x)，则＝(－2－x－y)＝(3－x－y)由＝x得y＝＋C. 3．已知椭圆＋＝1的左、右两个焦点分别是F是这个椭圆上的一个动点延长F到Q使得|PQ|＝则Q的轨迹方程是(x＋1)＋＝解析：提示：用定义法求轨迹方程．如图所示一圆形纸片的圆心为O是圆内一定点是圆周上一动点把纸片折叠使M与F重合然后抹平纸片折痕为CD设CD与OM交于点P则点P的轨迹是() A．椭圆 ．双曲线抛物线 ．圆高考方向1.求曲线的轨迹或轨迹方程是近几年高考命题的一个方向.2.常以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体有时会与向量交汇考查.考查定义法、相关点法、参数法等求轨迹的方法.3.题型大多数以解答题为主属中高档题. 1．曲线C是平面内与F1(－1)和(1，0)的距离的积等于常数a(a＞1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上则△F的面积不大于其中所有正确结论的序号是②③．解析： ①曲线C经过原点这点不难验证是错误的如果经过原点那么＝与条件不符；②曲线C关于原点对|PF1||PF2|＝a关于原点的对称点处也一定符合＝a；三角形的面积S，因为S＝|PF1|·|PF2|＝.所以②③正确．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知圆M：(x＋1)＋y＝1圆N：(x－1)＋y＝9动圆P与M外切并且与圆N内切圆心的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P圆M都相切的一条直线与曲线C交于A两点当圆P的半径最长时求|AB|. 解析：由已知得圆M的圆心为M(－1)，半径r＝1圆N的圆心为N(1)，半径r＝3.设动圆P的圆心为P(x)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切且与圆N内切所以|PM|＋＝(R＋r)＋(r－R)＝r＋r＝4由椭圆的定义可知曲线C是以M为左右焦点长半轴长为2短半轴长为的椭圆(左顶点除外)其方程为＋＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x)，由于|PM|－|PN|＝－所以R≤2当且仅当圆P的2，0)时＝2.所以当圆P的半径最长时其方程为(x－2)＋y＝4当l的倾斜角为90时则与y轴重合可得|AB|＝2当l的倾斜角不为90时由r知l不平行于x轴设l与x轴的交点为Q则＝可求得Q(－4)，所以设l：＝(x＋)，