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第一章 生存分布与生命表 第一节引言（简单模型） 一、 生存状况与生存模型 例如，我们考虑一个人30岁的人购买一份期限为10年的生存保险，保额为10 000元。也就是说，如果他活到40岁，将得到10 000元的保险金；如果他在10年内死亡，保险公司不会有任何给付。 二、新生婴儿的未来生存时间 一个刚刚出生的个体（0岁），其死亡年龄(或称存活时间)可作为一个随机变量，我们用F(x)表示。 第一节引言（简单模型） 符号(x)表示x岁的生命 ；用X表示(x)死亡时的年龄，显然，X也是一个随机变量 记X的分布函数为FX(x) FX(x)=Pr(X≤x)x≥0显然，{X≤x}表示新生儿将于x岁之前死亡的随机事件。于是，概率分布函数FX(x)对应的是一种死亡概率。 死亡概率对应，定义函数SX(x) 为： 1-FX(x)= Pr(Xx)x≥0 {Xx}表示新生儿将于x岁之后死亡——即新生儿将在x岁还生存的随机事件，所以，为新生儿将在x岁仍然活着的概率 称其为生存函数 ,简记为S(x) F(x)的概念及其分布函数 引言 例1-1 假设某地区人群的寿命随机变量分布函数为 （2）Pr(70X≤80)=- 考虑一些概率分布 (x)将在y（x）岁仍然生存的概率为：其在y岁之前死亡的概率为： 引言 精算学里，通常用符号p、q来表示生存和死亡的概率 特别地，t=1时，可以将上述符号左下角的t省略不写 qx= Pr[(x)将在未来1年内死亡]=Pr(T(x)≤1) px= Pr[(x)将活到年龄x +1]= Pr(T(x)1) 另外，用t|来表示延期t（年）。因此，对于(x)将在t年后的u年内死亡的概率，我们可以用t|uqx来表示，即 将连续型随机变量T(x)的整数部分用K(x)表示，即K(x)=[T(x)]。 令S(x)=T(x)-K(x)。分别称K(x)和S(x)为(x)的简略未来生命时间长度随机变量和(x)的死亡年残余时间长度随机变量 有 Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)k+1] 在(1-5)用生存函数给出了0岁的人在活到x岁的前提下，在(x,y)之间死亡的概率 该条件概率（已到达x岁的人在接下来y-x年内死亡的概率）可以看成x的函数，利用微积分的技术，考虑y-x为无穷小量（令y-x=?x），则该概率可以成为一个瞬间的死亡率 概念：表示年龄为岁的人将在某一瞬间死亡的概率。 死力的性质以及F(x),f(x),s(x)和死力的关系 作业：F(x),f(x),S(x)和死力的关系 第二节 生命表 对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函数作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x)。 生命表就是一种行之有效的描述随机变量X和T(x)近似特征的方法。 生命表函数与生存函数 生命表函数 生存人数 死亡人数 生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx） 平均余命，记作 平均生存函数 考虑一群新生婴儿，共L0=100000名。每个婴儿的死亡情况是相互独立并且具有相同的概率分布，他们的生存情况由生存函数给出。 下面讨论几个概念的关系： 生命表举例，看书 对于表1-2，我们将其看成是一群生命的生存情况表，其中： 1．这群生命在开始时由l0个0岁生命组成； 2．该生命群是封闭的。其它任何生命不准进入，成员减少的唯一原因是死亡； 3．lx是该群生命在x岁还活着的成员的个数； 这样，再根据上述有关生命表函数的讨论，我们有： 事实上，生命表的编制是通过利用最近的一段时期的数据 如中国人寿保险业经验生命表(2000-2003)所使用的是2000-2003年期间中国人寿保险业有关的数据 通过先估计各年龄死亡率qx，然后再由qx衍生出lx的。 第三节 分数年龄假设 生命表所给出的数值都是相应函数在整数点的值。对于非整数值，在表中是找不到的。 并且，在对一些其它函数的讨论中可以发现，仅有lx在整数点上的值是不够的。事实上，只有npx和nqx在x和n为整数时可以仅由生命表中的lx给出。 因此，还需要对s(0s1)，确定lx+s的值. 通常假设lx+s作为s的函数在[0，1]区间上具有某种数学形式，常见假设有线性假设、指数假设和双曲假设等。 也叫做尾龄的各种假设。 第三节 分数年龄假设 关于尾龄的缘由及若干假设死亡均匀分布假设常值死力假设Balducci假设 线性假设又叫均匀分布假设或均匀假设，在这种假设下，lx+s具有线性形式，即lx+s可以写成a+bs的形式。 由连续性，知道指数假设（常值死力假设） 指数假设又叫对数线性假设或常力假设，这种假设下lx+s具有指数形式，即它可以写成的形式 双