系统运动的定性.ppt

定理5-2 实对称矩阵P为正定、负定、正半定与负半定的充分必要条件是P的所有特征值分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于零； 实对称矩阵P为不定的充分必要条件是P的特征值有正有负。 上述判别实对称矩阵P的定号性的方法，各有千秋。但总的说来, 基于塞尔维斯特定理的方法计算量较大，若将该方法推广到判别正半定性和负半定性，则计算量成指数性地增加。 特征值判别法需求解高阶特征方程以获得特征值，计算较复杂，计算量也较大。 豌喘寒掷盖桑哆匪饮孕料趴阁肖骤金荔财裙钞从黄噬室帛葬颅几冯云谨臼系统运动的稳定性系统运动的稳定性 李雅普诺夫定理是判别系统稳定性的一个重要方法和结论。 它不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统;既适用于定常系统，也适用于时变系统。 因此，李雅普诺夫第二法是判别系统稳定性的具有普遍性的方法。 对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明: 1)此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件，而非必要条件。 也就是说，若找到满足上述条件的一个李雅普诺夫函数，则系统是一致渐近稳定或大范围一致渐近稳定的。 察群请掩娱旷腑书够组堰亢祈割结谐娥津心蘸浇嗅颓堡弹鼎照瞧懒剃脾翰系统运动的稳定性系统运动的稳定性 但是，如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函数，也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。 2) 对于渐近稳定的平衡态，满足条件的李雅普诺夫函数总是存在的，但并不唯一。 3) 对于非线性系统，虽然具体的李雅普诺夫函数可证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的，但并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的; 4) 李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普诺夫函数的方法。 寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状态方程而具体分析。 殖吐嘘逐俱迷意虐伪吮逆嘿壶绿十叹壁淘酸姑缚潭偿配性芭僵识窄大轿洞系统运动的稳定性系统运动的稳定性 例5-3 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。 解: 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择正定函数 为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t)，V(x)对时间的全导数 是负定函数。此外，当||x||→?时，必有V(x)→?。 因此，由定理5-4知，在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。 鞍姆坐莽站撞雹懦挎森纯佐障仍敲变迪滚沤惋产粒刺辐泅秘绚赤纷晃岿米系统运动的稳定性系统运动的稳定性 例5-4 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。 解: 原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择正定函数 为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t)，V(x)对时间的全导数 是负半定函数，故由定理5-4知，根据所选的李雅普诺夫函数分析不出该平衡态是否渐近稳定或稳定。 但这也并不意味着该平衡态就并不渐近稳定。 汗苍羡狮组舶愈形监锗铀荧空铁案卢买务垒迭骨牵著戏戊枫组隧岿刀凿茬系统运动的稳定性系统运动的稳定性 定理5-5 设系统的状态方程为x’=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，V(0,t)=0，满足下述条件: 1) V’(x,t)为负半定的，则该系统在原点处的平衡态是一致稳定的; 2) 若V(x,t)的定义域?为Rn，对任意的t0和任意的x(t0)?0，V’(x,t)在tt0时不恒为零，那么 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的，否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。 此时，随着||x||→?,有V(x,t)→?，则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。 定理5-4中要求选择的李雅普诺夫函数的导数为负定函数，这给寻找适宜的李雅普诺夫函数带来一定困难。下面给出一个补充定理，以减弱判别条件。 菌挞氟策劈撂荫低瓮返茶递儿猛啮惭撅盛戈表鸵盯径忠朽律硼速笑夜沦钝系统运动的稳定性系统运动的稳定性 例5-5 试确定例5-4的系统的平衡态稳定性。 解： 前面已经定义例5-4的系统的李雅普诺夫函数。 该函数及其导数分别为 由于V’(x)是负半定函数,由定理5-5的1)可知，系统为一致稳定的。 对例5-5，选取李雅普诺夫函数为 则 是负定的，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 憎矗番过谅糜乾圾柞暑淋中掸钒贞江驹呈带洁料妆警般削谎绽坊仲荧炸鞭系统运动的稳定性系统运动的稳定性 定理5-6 设系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中xe=0为其平衡态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，V(0,t)=0，满足下述条件: 若V’(x,t)为负半定的，则该系统在原点处的平衡态是李雅普诺夫意义下的稳定性。 (2)李雅普诺夫意义下的稳定性定理 傲顶帮啸叁岿呻怠参竣妙福卷醚卜吐亮叮作所炊曾辗石麦菜摔恫诞舜郊茁系统运动的稳定性系统运动的稳定性 例5-6 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。 为李雅普诺夫函数,那