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有限元方法Finite Elements Method Qing-Yu Zhang State Key Laboratory for Materials Modification by Laser, Ion and Electron Beams 宏观尺度材料设计?? 有限元方法 有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 宏观尺度材料设计?? 有限元方法 有限元法分析计算的基本思想： 物体离散化 单元特性分析 选择位移模式 分析单元的力学性质 计算等效节点力 单元组集 求解未知节点位移 宏观尺度材料设计?? 有限元方法 物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。 离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。 用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实际情况相符合。 宏观尺度材料设计?? 有限元方法 分析单元的力学性质 根据 单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚 度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。 宏观尺度材料设计?? 有限元方法 选择位移模式 位移法：选择节点位移作为基本未 知量称为位移法； 力 法：选择节点力作为基本未 知量时称为力法； 混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。 宏观尺度材料设计?? 有限元方法 计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元 传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代 替所有作用在单元上得力。 宏观尺度材料设计?? 有限元方法 单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限 元方程 求解未知节点位移 可以根据方程组的具体特点来选择合适的 计算方法。 宏观尺度材料设计?? 有限元方法 在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。 宏观尺度材料设计?? 有限元方法 目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。 宏观尺度材料设计?? 有限元方法 从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。 例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓流固耦合的问题。 宏观尺度材料设计?? 有限元方法 由求解线性工程问题进展到分析非线性问题 线性理论已经远远不能满足设计的要求。 例如：航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，只有采用非线性有限元算法才能解决。 非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。 宏观尺度材料设计