工程数学ch4级数.ppt

第四章 级数 §1 复数项级数 1. 复数列的极限 §2 幂级数 1. 函数项级数的概念 2.幂级数及其收敛性 证： 例1. 收敛圆与收敛半径 定理2. 若 例2. 3.幂级数的运算 §3 泰勒级数 1. 泰勒展开定理 例1. 例2. 例3. 例4. 例5. 一些初等函数的泰勒展式 §4 洛朗级数 1.双边幂级数 2.洛朗展开定理 3.将函数展称洛朗级数 例1. ch4 级数 2. 幂级数 2). 运算性质 3. 泰勒展开式 4.洛朗展开定理 二、典型例题 例2. 例3. 例4. 习题选做 解: 解: 洛朗展式 洛朗展式 思考： 运行时, 点击相片, 或按钮“阿贝尔” 可显示阿贝尔简介, 并自动返回. 利用重要积分公式，得： 定义5.1 (5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式, (5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗 朗级数. 常用方法 : 1). 直接法 2). 间接法 1). 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 缺点: 计算往往很麻烦. 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可用代数 运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 . 2). 间接展开法 解： 由定理知: 其中 故由柯西定理知: 由高阶导数公式知: 另解 本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点, 例2. 内是处处解析的, 试把 f (z) 在这些区域内展开成 解: 洛朗级数. 注: 奇点但却不是函数 的奇点 . 本例中圆环域的中心 是各负幂项的 练习. 展开成洛朗级数. 解: 说明: 1. 函数 在以 为中心的圆环域内的洛朗级数 的奇点. 中尽管含有 的负幂项, 而且 又是这些项的 奇点, 但是 可能是函数 的奇点,也可能不是 2. 给定了函数 与复平面内的一点 以后, 函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开 式 (包括泰勒展开式作为它的特例). 回答：不矛盾 . 朗展开式是唯一的) 问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾? (唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛 解: 例3. 例4. 解: 例5. 内的洛朗展开式. 解: 例6. 解: 一、知识要点 1. 复数项级数 1). 2). 1). 收敛半径 比值法 若 则 若 则 根值法 定理 定理 解: 例1. 解: 定理4. 例5. 把函数 表成形如 的幂 级数, 其中 是不相等的复常数 . 解： 把函数 写成如下的形式: 代数变形 , 使其分母中出现 凑出 级数收敛, 且其和为 例6. 求级数 的收敛半径与和函数. 解: 利用逐项积分,得: 所以 例7. 求级数 的收敛半径与和函数. 解: 例8. 计算 解: 1. 泰勒(Taylor)定理 2. 一些初等函数的泰勒展式 定理 证: 总有一个圆周: 使点 z 含在 由柯西积分公式得 的内部. 证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式: 为此改写： 我们设法将被积式表示为一个含有z-z0的正幂次级数. 由 时, 我们有 于是 逐项积分得 而 最后得出 故定理的前半部分得证. 下面证明展式是唯一的. 在z0逐项求导即知 故展式是唯一的. 设另有展式 称为 f (z)在点z0的泰勒展式； 称为泰勒系数； 称为其泰勒级数. 注： 解： 所以 求 在 的泰勒展式. 解： 所以 求 在 的泰勒展式. 而 解： 所以 求 在 的泰勒展式. 因为 解： 求 在 的泰勒展式. 解： 求 在 的泰勒展式. 1. 双边幂级数 2. 洛朗级数 3. 将函数展称洛朗级数 定义 称级数 为复常数， 称为双边幂级数的系数. 为双边幂级数，其中 正幂项部分 收敛范围为 负幂项部分 令 ，那末就得到 设它的收敛半径为R，那末当 时，级数收敛；当 时，级数发散. 注意到 则负幂项部分 令 当 时收敛. 负幂项部分 正幂项部分 收敛范围为 收敛范围为 双边幂级数 收敛范围为 定理 H a 证： 使得z含在圆环 z 内，因为f(z)在圆环 上解析, 由柯西积分公式有 对?z∈H,总可以找到含于H内的两个圆周 对于第一个积分,只要照抄泰勒定理证明中的相应 或写成 我们将上式中的两个积分表为含有z-a的(正或负) 幂次的级数. 部分,就得 类似地,对第二个积分 我们有 于是上式可以展成一致收敛的级数 沿Γ1逐项求积分,两端同乘以 由(5.6),(5.7),(5.9)即得 回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西 有 积分定理,对任意