工程数学模型及数值方法第二章.ppt

避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出 (Overflow) 避免大数吃小数 例：用单精度计算 的根。 精确解为 ? 算法1：利用求根公式 在计算机内，109存为0.1?1010，1存为0.1?101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 ? 1010，取单精度时就成为： 109+1=01010+0?1010=0?1010 大数吃小数 误差分析的方法和原则 算法2：先解出 再利用 注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。 例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + … + 40 + 109 误差分析的方法和原则 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。 一般来说，计算机处理下列运算的速度为 选用稳定的算法。 误差分析的方法和原则 称为尾数，j 为阶 二进制数 计算机的数系是一个不完整的数系。计算机只能表示有限个数，即计算机的精度是有限的。 每种计算机内部运算是按固定的有限位数进行的，也就是按固定位数的有限位浮点数进行运算的。 浮点数系统由四个整数表征：基 ，精度（尾数）位数 ，下溢界 和上溢界 计算机所表示的数的集合(规格化浮点数系)： 若 ，则 ，其中 , . 例如： 四种排列： 尾数只能为4个数： 二进制数 故F中有33个浮点数(加上0)： 二进制数 思考 * * * * * * * * * * * * * * 第二章 数值方法概论 理学院 2013年4月 《工程数学模型及数值方法》优质课程 数值方法又称为科学计算（Scientific Computing）或计算科学工程（Computational Science and Engineering） 现在把科学计算看做是和理论以及实验同等重要且必不可少的手段. 数值方法 数值计算方法是做什么用的？ 例如 当n=20时，用Cramer法则解方程组，其运算次数（乘除法）需要9.7×1020，用每秒运算1亿次的计算机要用30多万年，而用Gauss消元法只需要乘除计算2660次，需要几秒钟而已. 数值方法主要包括以下几个方面： 可靠的理论分析：能任意逼近并达到精度要求.对近似算法要保证其收敛性和数值稳定性，还要进行误差分析 计算复杂性：它包括时间复杂性和空间复杂性.在同一精度下，计算时间少的为时间复杂性好，而占用内存空间小的为空间复杂性好 数值试验 数值方法 收敛性：方法的可行性 稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响 便于编程实现：逻辑复杂度要小 计算量要小：时间复杂度要小，运行时间要短 存贮量要尽量小：空间复杂度要小 可靠性分析 计算复杂性 误差估计：运算结果不能产生太大的偏差且 能够控制误差 数值方法的设计原则 误差来源与分类： 误差分析 模型误差 (Modeling Error) 从实际问题中抽象出数学模型 观测误差 (Measurement Error) 通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值 方法误差 (截断误差)( Truncation Error ) 数学模型与数值算法之间的误差求近似解 舍入误差 (Roundoff Error) 由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差 误差分析的基本概念 设x为真值（精确值），x*为x的一个近似值，称 e*=x*-x 为近似值x*的绝对误差，简称误差。 注： ?误差可正可负，常常是无限位的 ?绝对误差限(accuracy) —绝对值的上界 如： ?绝对误差还不能完全表示近似值的好坏 绝对误差( absolute error) 近似值x*的误差 e*与准确值x的比值： 称为近似值x*的相对误差，记作 注： ?实际计算时，相对误差通常取 因为 相对误差(relative error) 误差分析的基本概念 ?相对误差也可正可负 相对误差限(relative accuracy) 相对误差的绝对值的上界 误差分析的基本概念 有效数字(Significant Digits) 如： 3位 6位 若近似值x*与准确值x的误差绝对值不超过某一位的半个单位，该位到 x*的第一位非零数字共有n位，则称x*有n位有效数字 误差分析的基本概念 第一种定义方式 有效数字(Significant Digits) 误差分析的基本概念 第二种定义方式 注：这种定义方式称为规格化形式 用科学计数法，记 , 其中