清华大学 13定积分概念和性质.ppt

第7章 定积分 7.1 定积分概念 (1)曲边梯形面积 (2)已知速度为 的直线运动物体在某段时间内走过 的距离 (3)线密度为 的细杆的质量 最长的小区间的长度！ (4)在方向不变、大小变化的力作用下, 方向运动时变力对物体所做的功 物体沿力的 划分 且 子区间 子区间长度 划分直径 定义7.1.1 设函数 在区间 上有定义. 若对于 的任意划分 及任取的点 极限 都存在, 则称函数 在区间 上 其极限值称为 在区间 上的定积分. 记作 可积, 定积分 表示: 例7.1.1 证明函数 在区间 上不 可积. 证 对于任意划分 而 不可能有共同极限. 所以不可积. (1)用定义求定积分 例7.1.2 解 1 e (2)利用几何意义求 解 因为函数与它的反函数的图形 所以 关于直线 对称, 例7.1.3 用定义求定积分 并求 解 定理7.1.1 （可积的一个必要条件） 若函数 在区间 上可积, 可积 有界 证明 取划分 满足 所以 使得 在子区间 无界. 上有界. 则在 假设不然 . 因函数 在区间 上无界, 不妨设 在 无界. 即 满足 且 故函数 在区间 上有界. 与 矛盾! 定理7.1.2 （可积的充要条件） 设函数 是区间 上的有界函数, 在区间 上可积的充分必要条件是: 其中 则 称为 在区间 上的振幅. 不证 定理7.1.3（可积的充分条件） 1)函数 若在区间 上连续, 则在 上可积. 且只有有限个间断点, 则在 上可积. 2)函数 若在区间 上有界, 3)函数 若在区间 上有定义且单调, 则在 上可积. 证明: 因为函数 在区间 上连续, 1) 所以 函数 在区间 上一致连续. 对于 的任意划分 只要直径 就有 即 从而 所以函数 在区间 上可积. 3)不妨设函数 在区间 上单调非减且非常值函数. 对于 的任意划分 只要直径 就有 所以 即 在区间 上可积. 定理7.2.1 任意的实数 函数 在 上可积, 且 则对于 (线性) 若函数 在 上都可积, 1) 上可积. 若函数 在 上可积, 2) (乘积函数可积性) 则函数 在 则函数 在 上可积, 且 反之不然! 例如 (绝对值函数的可积性) 若函数 在 上可积, 3) 7.2 定积分的性质 符号约定 定理7.2.3 若函数 在 上可积, 且 则 证 对于任意划分 对于任意取点 从而 即 定理7.2.2 若 反之亦然. 且 在区间 上都可积. 则 (区间可加性) 函数 在 上可积, (保号性) 推论 若函数 在 上都可积, 且 则 (保序性) 例7.2.1 比较定积分 与 的大小. 解 所以 所以 推论(估值定理) 若函数 在 上可积, 且 则 例7.2.2 证明 证 所以 所以 积分中值定理 若函数 在 上连续, 则 证 不妨设 则 记 在 上的最小, 最大值 分别为 由保序性知, 若 则任取 都能使等式成立. 否则, 第一积分中值定理 若函数 在 上连续, 则 函数 在 可积 定理7.2.4 且不变号. 推论 {把[ ]变成( )} 不妨设 将 的最小, 最大值分别记作 记 若 则可取介于最小,最大点间的 使得 若 所以 因为 假设 则 闭区间上连续函数 有最小值, 矛盾! 故 若 记为 则 同理可证. 下面证 例