复变函数(第四版)课件章节--5.1.pptVIP

第五章 留 数 第一节 孤立奇点 第二节 留 数 第三节 留数在定积分计算上的应用 第一节 孤立奇点 孤立奇点的定义 如果 是函数 的一个奇点，但在 的某一个去心邻域 内处处解析，那么称 为 的孤立奇点 例如： 是函数 的孤立奇点，但不 是函数 的孤立奇点 第一节 孤立奇点 将函数在孤立奇点的去心邻域内展开成洛朗级数，按照展开式的不同情况将孤立奇点进行如下分类： 可去奇点，极点，本性奇点 第一节 孤立奇点 可去奇点 定义：函数 在孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗展式中不含 的负幂项 例如： 是 的可去奇点 第一节 孤立奇点 极点 定义：函数 在孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗展式中只有有限个 的负幂项，且其中关于 的最高幂为 ，称 为 的 级极点 第一节 孤立奇点 例如： 对于函数 是它的一个三级极点， 都是它的一级极点 第一节 孤立奇点 本性奇点 定义：函数 在孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗展式中含无穷多个 的负幂项 例如： 是函数 的本性奇点 第一节 孤立奇点 结论： 如果 为 的可去奇点，那么 存在且有限；如果 为 的极点，那么 ；如果 为 的本性奇点，那么 不存在且不为 第一节 孤立奇点 函数的零点与极点的关系 零点的定义：不恒等于零的解析函数 如果能表示成 ，其中 在 解析并且 ， 为某一正整数，那么 称为 的 级零点 例如： 与 分别是函数 的一级与三级零点 第一节 孤立奇点 结论： 如果函数 在 解析，那么 为的 级零点的充要条件是 第一节 孤立奇点 函数的零点与极点有下面的关系 定理：如果 是 的 级极点，那么 就是 的 级零点，反过来也成立 第一节 孤立奇点 函数在无穷远点的性态 如果函数 在无穷远点 的去心邻域 内解析，那么称点 是 的孤立奇点 如果 是 的可去奇点、 级极点或本性奇点，那么就称 是 的可去奇点、 级极点或本性奇点 第一节 孤立奇点 例题 1.函数 有些什么奇点，如果是极 点，指出它的级。 2.函数 在扩充复平面内有些 什么类型的奇点，如果是极点，请指出它的级。