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解 1）初始区间[a,b]=[0,2], 中间点x2=1。 * 2．二次插值法与外推内插法 抛物线插值法是二次插值法的一种特殊情况，其中所取的三个近似计算点所对应的函数值必为两头大，中间小，即三个近似计算点xa，xb，xc (xa xb xc) 满足：f(xb )f(xa)，f (xb)f(xc)，因此保证能收敛。如果不满足“高－低－高”的原则，则有的迭代方式不能保证一定收敛，有时甚至可能无解，此外，有不少问题其最优点存在的范围事先没有给出，这时，无论用消去法或近似法，首先要寻找极值点存在的区间。 外推内插法，就是一种能自寻极值点范围的二次多项式近似法。它先用外推法求出最优点存在的区间，然后用内插法求出二次多项式的极值点，以此为新的起点，逐次迭代直至达到给定的精度。由于在每次迭代中，它满足“高－低－高”的原则，则一定能保证收敛，其具体步骤如下： * (a)外推法求极值点存在的区间 为了加速寻找区间的速度，这里采取了成倍地加大步长h的措施。设从某点x1开始，原始步长为h0(充分小的正数)计算f (x1)与x2=x2＋h0处的函数值f (x2)。比较f (x1)与f (x2)有两种情况：(图3-4) 若f (x1) ≥ f (x2) ，则将步长加倍, 在x3=x2+2h0, x4=x3+4h0…, xK=xK-1+2K-2h0等点处求f (xK)，直至函数值增加为止(图a)。 若f (x1)f (x2)，则求x3=x1－h0，x4=x3 －2h0，…，xK=xK-1 － 2K-3h0等点处的f (xK)，直至函数值增加为止(图(b) * 对于凸函数来说，最小点必落在xK-2~xK之间， 即xK-2x*xK，而且有 此时若在xK-1与xK之间的中点处进行第K+1个点的计算，即取 共得四个等间距的点xK-2 、 xK-1 、xK+1 、xK，它们之间的间距为d。当f (x1)≥f (x2)时为d=2k-2h0，当f (x1)f (x2) 时为d=2k-3h0。比较这四个点的函数值，将其中函数值最小的点命名为xb，则取xa=xb－d，xc=xb+d，抛去余下的另一端点(见图3-4)。至此，用加大步长的外推法，得到了区间[xa，xc]。要求的最小点必然落在这区间之中。 应当指出，当没有给出最小点存在的区间时，若要用直接消去法求最优值，也可以利用以上寻找区间的外推法首先确定有哪些信誉好的足球投注网站区间，然后再用消去法求极值点。 * (b)二次多项式内插法求近似极值点 利用式(3-19)或式(3-21) 求出近似的最优点xml (即x4) ，一般来说f(xml)要比f(xa)，f(xc)，f(xb)都好些。 (c)迭代方式(两种) 其一：比较f (xml)与f (xb)，以较小者的点为新的起点，同时缩短步长h=mh0 (h为新的起始步长，h0为上次计算的起始步长，m为正小数，如m=0.05，0.1等) 重复以上的步骤(a)和(b)，直至满足给定的收敛要求为止。用计算机进行计算时，其程序框图为图3-5中的(a)、(b)及(c)部分之和。 其二；比较f (xml)与f (xb) ，以较小者的点为新的xb，加上左右邻点构成了三个新的计算点xa，xb，xc，重复使用式(3-22)求新的 xm，如此反复。直至满足收敛要求为止。其程序框图见3-5中的(a)，(b)及(d)部分之和。 * 为便于分析起见，将图3-5分为四部分。其中(a)为外推法求最优点存在的区间部分；(b)为内插法(二次多项式内插)求近似的最优点；(c)为第一种迭代方式，即以xb或xm中的函数值较小者为新的起点，重复(a)及(b)部分；(d)为第二种迭代方式，它不再找最优点存在的区间了，而以xb或xm为中心，重新以三个新点用二次近似法计算xm。 程序框图中ε1为收敛要求，这里以函数值的偏差为指标。ε2为一很小的正小数．防止f2=0时计算溢出。也可取ε2=1进行计算。m为迭代时步长缩短的倍数。h0为给定的初始步长，x0为给定的某一起点。 计算机C语言程序。 图3-5 外 推内插法的程序框图 解： f1=f(x1)=9 x2=x1+h=0+1=1 f2=f(x2)=4 比较函数值：f1f2 x3=x2+2h=3 f3=0 比较函数值：f3f2 x1=1 f1=4 x2=3 f2=0 x3=x2+2h=5 f3=4 比较函数值：f3f2 这时：f1f2 , f2f3