工程数学 积分变换(第四版)第2讲.ppt

第二节 Fourier变换 一.Fourier变换的概念 二.单位脉冲函数及其Fourier变换 三.非周期函数的频谱 工程上将d-函数称为单位脉冲函数,  在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件 例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 若F(w)=2pd(w)时, 由Fourier逆变换可得 所以1和2pd(w)也构成了一个Fourier变换对. 如图所示: 矩形脉冲的频谱图为 我们定义 为f(t)的相角频谱. 例5 求正弦函数f(t)=sinw0t的Fourier变换. 由Fourier变换公式可得 解: t sint p p -w0 w0 O w |F(w)| ? 3. 非周期函数的频谱 的振幅为 而函数的复指数形式为 频率为wn时的振幅,即振幅随频率变化的分布情况. 频谱图: 频率和振幅的关系图. 特点: 频谱的图形是不连续的,因为n=0,1,2,… 离散频谱. f(t) t E -t/2 t/2 例6 求下列周期函数的频谱. -T/2 T/2 解: 离散频谱 对于非周期函数, 在频谱分析中, 傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数, 而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 与周期函数频谱的区别: 连续频谱, 结论: 对一个时间函数作Fourier变换, 就是求这个时间函数的频谱. * 我们知道, 若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件, 则在f(t)的连续点处, 有 可以看出 f(t) 与 F(w) 可相互转换,分别记为 F(w)=F [f(t)] 和 f(t)=F -1[F(w)] 1.Fourier变换的概念 (1.9)式叫做 f(t) 的Fourier变换式, (1.10)式为 F(w) 的Fourier逆变换式, 可以说象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个Fourier变换对.它们有相同的奇偶性(习题二). 还可以将f(t)放在左端, F(w)放在右端, 中间用双向箭头连接: f(t) ? F(w) F(w)称作f(t)的象函数, (1.9)式右端的积分运算, 叫做f(t)的Fourier变换, f(t)称作F(w)的象原函数. 同样, (1.10)式右端的积分运算, 叫做F(w)的Fourier逆变换. 由f(t)的Fourier正弦积分公式 可得, f(t)的Fourier正弦变换 F(w)的Fourier正弦逆变换 由f(t)的Fourier余弦积分公式 可得, f(t)的Fourier余弦变换 F(w)的Fourier余弦逆变换 t f(t) 1 根据(1.9)式, 有 这就是指数衰减函数的Fourier变换. 根据(1.10)式, 有 现在,我们来求指数衰减函数的积分表达式. 1. 柯西-古萨基本定理. 见复变函数课本第 170 页例 5. 因此有 如果令b=1/2, 就有 可见钟形函数的Fourier变换也是钟形函数. 求钟形脉冲函数的积分表达式, 根据(1.10)式 注意: 在半无限区间上的同一函数,其正弦变换和余弦变换结果是不同的. 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 有许多物理现象具有脉冲性质, 如： 2. 单位脉冲函数及其Fourier变换 在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情 况等. 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即 当t?0时, 若以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则 当t=0时, q(t)在这一点不连续, 0是q(t)的第一类间断点. 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点不存在导数. i(t)=0. 如果我们形式地计算这个导数, 则得 问题: 在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够 表示这样的电流强度. 解决办法:引进狄拉克(Dirac)函数, 简单记成 弱收敛: 若对任何一个无穷次可微的函数f(t), 如果函数序列 {Sn}满足 出发点: 想办法把无法表示的函数用某个可以表出 的函数列求弱极限来得到. 称de(t)的弱极限为d-函数, 记为d(t) de(t) 1/e e O 即: d-函数可以看成一个普通函数序列的弱极限. d-函数的性质: 证明: 因为对任何一个无穷次可微的函数f(t), 性质1. t O d(t) 1 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度. d(t