理论力学课件 第二章质点组力学.ppt

§2.1 质点组的基本概念 简言之，质心就是质点组的质量等效中心。 §2.2 动量定理与动量守恒律 §2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 例5 在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两端距通过该轴水平面的距离为 与 。两个质量分别为 和 的人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加速度向上爬并同时达到滑轮轴所在的水平面。假定滑轮的质量可忽略，且所有的阻力也都忽略不计，问需多少时间，两人可以同时达到？ 解：如教材图2.3.2所示，根据质点组对固定轴的动量矩定理，得 而 故 一、质点组的动能定理 §2.4 动能定理与机械能守恒定律 对于质点组中的任一质点 对 求和，就得质点组的动能定理： 质点组的动能定理：质点组动能的微分，等于诸外力及诸内力所做元功之和。 注 意： （1）在动量定理和动量矩定理中，内力均 因成对出现、等大相反而消去； （2）在质点组动能定理中，内力所作元功之和一般不能互相抵消； （3）对特殊的质点组—刚体来说，内力不作功，即内力所作元功之和为零。 一对内力的功： 对于一般的质点组来说，由于其质点间的相对位置可以改变，所以内力的功之和不等于零。 故只有当 时，才有 。而 意味着质点间距离不能改变，即为刚体。 二、质点组的机械能守恒定律 只有作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力（或其中只有保守力作功）时，质点组的机械能才守恒。 或 其中 为总能量， 为质点组动能， 为质点组势能（它包括内力的势能和外力的势能）。 质点组的动能： 三、柯尼希定理 柯尼希定理：质点组的动能为质心的动能与各质点相对质心运动动能之和。 四、对质心的动能定理 在c-x`y`z`中，对质点mi ，有 用 点积，得 而 从而得 又 故 质点组对质心的动能定理：质点组对质心的动能的微分，等于质点组相对于质心系位移时内力及外力所作元功之和。 说明：质心虽是动点，但惯性力所作元功之和为零，因为惯性力的矢量和通过c点，位移为零。 例6 质量为 及 的两自由质点互相以力吸引，引力与其质量成正比，与距离平方成反比，比例常数为 。开始时，两质点都处于静止状态，其间距离为 。试求两质点的距离为 时两质点的速度。 解：由动量守恒得 由机械能守恒得 联立求解，得 例7 一光滑小球与另一相同的静止小球相碰撞。在碰撞前，第一小球运动的方向与碰撞时两球的联心线成 角。求碰撞后第一小球偏过的角度 以及在各种 值 下 角的最大值。设恢复 系数 为已知。 解：碰撞过程中无外力做功，系统动量守恒 x方向 y方向 又因为恢复系数 （4） （1） （2） （3） （1）-（3）得 将（4）代入（2）得 令 又因为 故 §2.5 两体问题 一、两体问题的含义 仅受相互作用的内力、不受任何其他外力作用的两质点（物体）组成的系统，称为两体问题。 二、两体问题动力学方程及守恒量 讨论由太阳与一行星 组成的两体问题。 两式相加，得 此即本问题中系统质心的动力学方程。 【结论1】P，S系统的质心将按惯性运动。 因系统只含两个质点，所以质心C在P与S的连线上。 令 则行星对C的动力学方程为 又因 则 此即行星相对于质心的动力学方程。 力仍与距离的平方成反比，故行星绕 (S,P)系统的质心作圆锥曲线运动。同理可得太阳的情形也是如此。 【结论2】太阳和行星都绕它们的质心作圆锥曲线运动。 ? 行星相对于太阳运动的动力学方程 太阳对惯性系O-xyz的绝对运动动力学方程 行星对惯性系O-xyz的绝对运动动力学方程 将前式乘以m、后式乘以M，然后后者减去前者，得 因 消去M，得行星相对于太阳运动的动力学方程（形式1）: 式中 【据此】可认为太阳不动，但它的质量却不再为M，而增大为M+m。且此时的常数 对各行星均不相同。 行星相对于太阳运动的动力学方程（形式2）。 【据此】可认为太阳不动，它的质量仍为M，但行星质量却减小为 或 称为折合质量。此时的常数 对各行星均相同。 以上解决问题的方法就是变多体问题为单体问题的处理方法。据此结果，可对开普勒行星运动第三定律进行修正。 以上所讨论问题并未考虑行星间的相互吸引作用，因此属于两体问题。 若需考虑任一行星还要受到其他行星的吸引力作用，则属于多体问题。多体问题则一般只能用微扰的方法来近似求解。 §2.6 质心坐标系与实验室坐标系 两体问题可以