同济第五版高数下第七章课件33741.pptVIP

第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 小结 * 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时 满足两个方程. 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆: 例2 方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示上半球面, 是圆柱面, 交线如图. 空间曲线的参数方程 当给定 时,就得到曲线上的一个点 随着参数的变化可得到曲线上的 全部点. 经过t 时间，运动到M点. 螺旋线的 参数方程 取时间t为参数， 解 例3 如果空间一点M在圆柱面 上以角速度 绕z轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z轴上升，那么点M构成的图形叫做 螺旋线. 试建立其参数方程. 动点从A点出发, 螺旋线的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比． 则上升的高度: 称为螺距. 即 消去变量z后得： 称为曲线C关于xOy的投影柱面. 设空间曲线C的一般方程： 称为曲线C在xOy面上的投影曲线. 投影柱面与xOy面的交线： 如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影曲线 投影柱面 类似地： 可定义空间曲线在其他坐标面上的投影. 面上的投影曲线: 面上的投影曲线: 空间曲线在 面上的投影曲线 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 解 （1）消去变量z后得 在xOy面上的投影为 所以在yOz面上的投影为线段. （3）同理在xOz面上的投影 也为线段. （2）因为曲线在平面 上， 截线方程为 解 如图, 例4 截线方程为 (1)消去z得投影柱面 (2)消去y得投影柱面 (3)消去x得投影柱面 曲线 曲线 曲线 求上半球面 和锥面 在xoy 面上的投影曲线 二曲面交线 所围区域为圆域: 所求投影是二曲面交线在xoy 面上的 投影曲线所围之域 . 例6 所围的立体在 xoy 面上的投影. 解 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲面 空间曲线的一般方程、参数方程． 空间曲线在坐标面上的投影．