复变函数2.1,2.2.ppt

复习与回顾 偏导定义. 例：u(x,y)、v(x,y)如下： 二、典型例题 偏导数的定义 定义 方程 称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程). 定理 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程 上述条件满足时,有 设函数 于是 u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足 柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y) 可微, 于是 （?x,?y?0时,ek?0, (k=1,2,3,4)） 并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导. 由 z 的任意性可知： 推论 ： 例题1 解： 使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件. iii) 求导数： 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的. 解析函数的判定方法: 例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: 解 不满足柯西－黎曼方程, 四个偏导数均连续 指数函数 四个偏导数均连续 解 解 证 区域: 平面点集D满足以下条件,则称为区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,既D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来. 单连通域与多连通域 有界域与无界域 极限计算的定理 定理 连续的 三要素: （1） f(z)在z0处有定义 （2）f(z)在z0处有极限 （3）f(z)在z0处的极限值等于函数值 由函数连续的定义: 定理 第二章 解析函数 一 . 复变函数的导数与微分 二 . 解析函数概念 三 . 函数解析的充要条件 * 一、复变函数的导数与微分 1.导数的定义: 等价定义 内可导。 例1 解 证： 2. 可导与连续的关系 证明 反之: 由例2可知 评论： 1. 与实函数的可导定义形式相同。 2. 复杂性在于 3. f(z) 在点可导则f(z)在此点连续, 反之不对. 例3 解 求导法则: 求导公式与法则: 微分的概念: 定义 特别地, 二、解析函数的概念 2. 奇点的定义 注解、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等； 例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析； 仅在原点可导，故在整个复平面上不解析； 注意 定理 以上定理的证明, 可利用求导法则. 根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 例 例 解 问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)， 如何判别其解析（可导）性？ 换句话说： 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样可定义对 y 的偏导数 全微分的定义 定义: 如果函数 w = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. 函数 f (x, y) 在点 (x, y) 可微 函数在该点连续 定理1(必要条件) 若函数 w = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 必存在,且有 定理2 (充分条件) 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 解析函数的充要条件