复变函数第四版_4-1.ppt

第一节 复数项级数 一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 四、小结与思考 一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 四、小结与思考 1.定义 记作 2.复数列收敛的条件 那末对于任意给定的 就能找到一个正数N, 证 从而有 所以 同理 反之, 如果 从而有 定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. [证毕] 课堂练习: 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限. 1.定义 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 称为级数的部分和. 部分和 收敛与发散 说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是: 2.复数项级数收敛的条件 证 因为 定理二 说明 复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题 (定理二) 解 所以原级数发散. 课堂练习 必要条件 重要结论: 不满足必要条件, 所以原级数发散. 启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察 ? 级数发散; 应进一步判断. 3. 绝对收敛与条件收敛 注意 应用正项级数的审敛法则判定. 定理三 证 由于 而 根据实数项级数的比较准则, 知 由定理二可得 [证毕] 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 说明 如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛. 定义 所以 综上: 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. 而 解 例1 解 故数列发散. 例2 解 级数满足必要条件, 但 例3 故原级数收敛, 且为绝对收敛. 因为 所以由正项级数的比值判别法知: 解 * *