复变函数246394.ppt

1.3 复变函数的导数 1.3.2 求复变函数导数实例 设 沿着平行于x轴的方向趋向于零，因而 ， ，这时极限 设 沿着平行于y轴的方向趋向于零， 因而 ， 这时极限 因此 导数不存在，原函数在复平面上处处不可导。 1.3.3 可导和连续的关系 我们知道：若复变函数在某点连续，则该函数在该点极限一定存在，反之不一定成立.那么可导与连续有何关系？ 若函数在某点可导，必在该点连续．但反之不一定成立. 如上例 ，显然在复平面上处处连续．但在复平面处处不可导. 1.3.4 可导的必要条件 上面我们判断函数是否可导时使用了定义式，但这样不仅麻烦，甚至对某些函数判断起来会十分困难。能否有更为简单的办法判断一个函数是否可导呢？按照逻辑思维习惯，判断不可导可能会容易一些，（正如判断级数是否收敛，只需使用收敛的必要条件即可），基于这样的思想，我们首先讨论函数可导的必要条件。 1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件 （1）沿平行于实轴的方向趋于零 ( ) （2）沿平行于虚轴的方向趋于零( ) 即 可以简写为 即为下述定理 若函数 于点 可导， 则在点 必有 方程叫作直角坐标形式的柯西(Cauchy)－黎曼(Riemann)方程，或柯西－黎曼条件 （简称为C-R条件）. 2. 极坐标形式的柯西—黎曼条件 若用 和 分别表示 的模和辐角，若函数 可导，则 与 满足 极坐标形式的柯西－黎曼条件 【证明】使用极坐标，设 和 分别为极坐标系的单位矢量.当 沿 方向， 的变化为 所以沿 方向的导数 当 沿 方向， 的变化为 所以沿 方向的导数 由于沿 方向和沿 方向的导数应该相等，比较可 得极坐标形式的柯西－黎曼条件 。 1.4 解析函数 解析函数是本章的重点内容，有着广泛的应用基础。本节着重讲解解析函数的概念及判断方法；然后介绍一些常用的初等解析函数，说明它们的解析性； 1.4.1解析函数的概念 1.解析函数概念 解析函数 奇点 如果函数 在 及其邻域内处处可导，那么称 在 点处解析。如果 在区域D内每一点解析，那么称 在 D 内解析，或称 是 D 内的一个解析函数 （又称为全纯函数或正则函数）。 解析函数这一重要概念是与区域密切联系的．我们说函数 在某点 解析， 其意义是指 在 点及其邻域内可导. 如果 在 点不解析，那么称 点为 的奇点。 2．函数解析与可导、连续、极限的关系 由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多. 区域解析区域可导 在某点解析该点可导该点连续该点 极限存在，反之均不一定成立。 复变函数在某点解析 某点可导 某点极限存在 某点连续 1.4.2 初等解析函数 1. 指数函数（单值函数） 对于任何复数