复变函数146692.ppt

* 引 言 在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 Euler公式 揭示了复指数函数与三角函数之 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和 发展。 复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展 。 第一章 复数与复变函数 §1.1复数及其表示法 一对有序实数（ ）构成一个复数，记为 . 自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础. x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), . 称为 Z 的共轭复数。 与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小. 两个复数相等 他们的实部和虚部都相等 特别地， 1.代数形式 : 复数的表示法 1)点表示 y z(x,y) x x 0 y r 复平面 实轴 虚轴 2) 向量表示 ----复数z的辐角(argument) 记作Arg z=q . 任何一个复数z?0有无穷多个幅角,将满足 -p q0?p 的q0 称为Arg z的主值, 记作q0=arg z .则 Arg z=q0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数) 0 x y x y q z=x+iy |z|=r ----复数z的模 当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定: 说明：当 z 在第二象限时， 2.指数形式与三角形式 利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cosq, y = r sinq, 可以将z表示成三角表示式: 利用欧拉公式 e iq = cosq + i sinq 得指数表示式: 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式. [解] 1) z在第三象限, 因此 因此 2) 显然, r = | z | = 1, 又 因此 练习： 写出 的辐角和它的指数形式。 解： §1.2复数复数的运算 设 z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3) z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 . 复数运算满足交换律,结合律和分配律: 1 . 四则运算 加减法与平行四边形 法则的几何意义: 乘、除法的几何意义: , , , 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和. 等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然. 几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩大 |z1| 倍并旋转一个角度Arg z1 . 0 1 例2：设 求： 解： 若取 则 若取 则 ; 按照乘积的定义, 当z1?0时, 有 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差. 2 . 乘方与开