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CH10:2-D福利叶变换及DCT等 DCT的快速计算 2N点DFT,还要乘上一个系数 共有2N+2Nlog22N)次复乘 快速算法使运算降低到Nlog2N DCT快速计算矩阵表示(8点) DCT快速计算矩阵表示(8点) DCT快速计算矩阵表示(8点) DCT快速计算矩阵表示(8点) + 讨论可分离性和对称性 2-D离散余弦变换(DCT) * 南京大学计算机科学与技术系 1-D信号 - 2-D信号 + = = — [1] 梯度? [2] DFT? …… 主要内容 [1] 1-D福利叶变换推广至2-D福利叶变换 [2] 2-D福利叶变换的若干问题(性质) [3] DCT及DST 1-D DFT正变换 对1个连续函数 f (x) 等间隔采样 1-D DFT反变换 变换表达 频谱(幅度) 相位角 R(u)和I(u)分别指实部和虚部 正变换 反变换 正向变换核 反向变换核 2-D DFT 变换对公式:1D-2D推广 频谱(幅度) 相位角 功率谱 2-D DFT的思考(矩阵表示) 2-D DFT的思考(矩阵表示) DFT IDFT 变换结果 对称变换矩阵 对称变换矩阵 2-D DFT的思考(矩阵表示) 酉矩阵(*代表共轭 ): 如果A为实矩阵,且: 则A为正交矩阵 2-D DFT的思考(酉变换/正交变换) 反向变换核 正向变换核 变换核与 原始函数及 变换后函数无关 2-D DFT的思考(可分离变换) 可分离 1个2-D变换分成2个1-D变换 y N-1 N-1 f(x,y) 0 x N-1 N-1 F(x,v) 0 x N-1 N-1 F(u,v) 0 u 行变换 列变换 v v (h1与h2的函数形式一样) 2-D DFT的思考(对称性) 2-D DFT的思考(M=N) 原图像 幅度谱 相位谱 由幅度谱重建 相位谱为0 由相位谱重建 幅度谱为常数 结论:相位谱可能具有更重要的应用 2-D DFT性质 [1] 平移特性 [2] 分配性和比例变换性 [3] 旋转性 [4] 周期性和对称性 1、平移定理 c=d=N/2? 图像平移不影响频谱 2、分配性和比例变换性 3、旋转 4、周期性和对称性 1-D离散余弦变换(DCT) DCT是一个实数变换,实数信号到实数DCT系数之间的映射 DCT转换矩阵 酉矩阵 DCT用于声音和图象处理时,大部分能量集中在极少数系数上; 这个性质使得DCT广泛用于压缩,因为在传输的过程中可以丢弃低能量的系数而不会带来明显的实真; DCT的性质 DCT和DFT的性质 DCT和DFT的性质

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